とする．このとき が成立する． (証明の方針) と置く．いま を示す．そのために をいえばよい． 1 (1) 前提 1 (2) 1. ∀-除去 3 (3) 仮定 ☆ 1 (4) 2-3. →-導入 1 (5) したがってが示された． ☆について であるからとの元はすべてに属するので，このような仮定…

とする．このとき，ととを含むの最小の部分群を で表し，とにより生成された部分群という． 補足 とする．このとき より より に表示を改める．もっとも のように書いてもよい．

有限群 とする．このとき である． (証明の方針) を示す． より である．とくにから がわかる．これより単位元の性質を考えると，単位元は交換性があるので が成立する．したがって，である．

とする．このとき が成立する．但し，は積(掛け算)を表す． (証明の方針) ① 有限群の部分群は有限群か？ よりも有限群である．これより と定める． ② に関して集合族の位数とは何か？ 位数が有限個のとから成るの位数も有限個である．いま と置けば i.e. と…

の内包 i.e. i.e. i.e. 但し とする．も同様．このとき が成立する． (証明の方針) に対して を示す．条件とくにであるから よりについて，はの元同士の演算が働くので，に関して i.e. を成す．これより と表示してもよい．も同様． これより，に対して であ…

巡回群の部分群は巡回群である i.e. s.t. < > 但し < > < > とする．このとき巡回群< >，< >に対して < > < > である． (証明の方針) 条件，は巡回群より < > < > で表されるときから < > < > を得る．

< > とする．このとき (1) < > (2) < >はを含むの最小の部分群 である． (証明の方針) (1)について < >より< >の元はすべて群に属するので，< >はの演算に関して群を成す．したがって< > である． (2)について をを含むとする．このとき < > ☆ を示す．条件…

とする． (1) のとき (2) のとき (証明の方針) (1)について (⇒) を仮定する．の条件よりであるから と書ける．それゆえ が成立する． (⇐) を仮定する．条件よりはの演算に関して群を成すので，の単位元をがもつ． (2)について (2)も(1)と同様の理由で示され…

とする．このとき，がの部分群であるための必要十分条件はが次をみたすことである． (ⅰ) (ⅱ) また，(ⅰ),(ⅱ)は次の(ⅲ)と同値である． (ⅲ) 但し である． (証明の方針) を示したい．そのために (ア) (イ) を示す． (ア)について と仮定する．このとき，条件か…

とする．このときの単位元のみから成る集合に対して が成立する．また，についても，自身の部分群 である． (証明の方針) (ⅰ) (ⅱ) (ⅲ) (ⅳ) ☆ によりがとれる． を示す． (ⅰ) 1 (1) 前提 2 (2) 仮定 1 (3) 1-2. →-導入 (ⅱ) 両辺が等しいことをいう． それゆえ…

主張 (証明の方針) とする．このときの逆元とは をいう．但し (唯一つ) である．いま を示したい．そのために を示す． 1 (1) 前提 1 (2) 1. ∀-除去 3 (3) 仮定 4 (4) 仮定 3,4 (5) 3,4. →-除去 3,4 (6) 5. ∧-除去 3,4 (7) 5. ∧-除去 ここで，の自由変項を用…

とする．このとき が成立する．但し である． (証明の方針) (ア) (イ) をみたすようなが唯一つであることを示したい．そのために，まず s.t. という記号の意味について考える．の任意の元に対して，条件をみたすようなのある元が存在する．また，そのような…

とする．このとき が成立する．但し である． (証明の方針) 群の単位元について とはどういう意味だろうか． s.t. () つまり，というのがに存在するときに，任意のの元について条件をみたす．が存在しないときも，その条件で書ける，と解釈できる． 一方，19…

とする．このとき > < をともにみたすがちょうど3個となるようなの値の範囲を求めよ． (解答の方針) まず，一次不等式の整数解について解く． s.t. > < < < 代表として，自由変数で考える． 1 (1) > < 前提 2 (2) > < 仮定 2 (3) > 2. ∧-除去 i.e. > i.e. > …

問 < < ， < < のとき，次の式の値の範囲を求めよ． (ア) (イ) (解答) とする． (ア)について < < < < 1 (1) < < 前提 2 (2) < < 仮定 2 (3) < 2. ∧-除去 > > 2 (4) < 2. ∧-除去 > > 2 (5) < < 3,4. ∧-導入 2 (6) < < 5. ∃-導入 1 (7) < < 1,2-6. ∃-除去 (イ…

とする．このとき は成立するか？ (証明の方針) i.e. を試行する．もし，記号の一切の中身を問うことをしなければ，この判断も真と成る． 1 (1) 前提 1 (2) 1. ∀-除去 3 (3) 仮定 1 (4) 2-3. →-導入 1 (5) 1,4. ∀-導入 この場合，(4)で記号の中身を問う必要…

問 次の方程式，不等式を解け． (ア) (解答の方針) s.t. i.e. を示す． (解答) 1 (1) 前提 2 (2) 仮定 i.e. i.e. i.e. 2 (3) 2. ∃-導入 1 (4) 1,2-3. ∃-除去 (イ) > (解答の方針) s.t. > i.e. > < < ］］を示す． (解答) 1 (1) > 前提 2 (2) > 仮定 i.e. > i…

問 次の連立不等式を解け． > (解答の方針) s.t. > i.e. > < を示す． (解答) 1 (1) > 前提 2 (2) > 仮定 2 (3) 2. ∧-除去 i.e. i.e. 2 (4) > 2. ∧-除去 i.e. > i.e. < 2 (5) < 3,4. ∧-導入 i.e. < 2 (6) < 5. ∃-導入 1 (7) < 1,2-6. ∃-除去

問 次の不等式を解け． < (解答の方針) < i.e. < > を示す． (解答) 1 (1) < 前提 1 (2) < 1. ∀-除去 3 (3) 仮定 1,3 (4) < 2,3. →-除去 i.e. < i.e. > 1 (5) > 3-4. →-導入 1 (6) > 5. ∀-導入

とする．このとき は不成立である． (証明の方針) の要素(3の倍数)がすべて(6の倍数)に属するわけではない，ということを示したい．自然演繹ではどの段階で，この「属するわけではない」が言えるのかをたしかめる． 1 (1) 前提 1 (2) 1. ∀-除去 ここで，たと…

とする．このとき が成立する． (証明の方針) 一階述語論理でがに包まれることを示したい．そのために を示す．すなわち すべての自然数に対して をいう．すなわち を示したい． 自然演繹 1 (1) 前提 1 (2) 1. ∀-除去 3 (3) 仮定 1,3 (4) 2,3. →-除去 1 (5) …

単項式の乗法 とする．このとき次の式を計算せよ． (解答) (1) (2) (3) (4) 指数の定義 (正整数) (与えられた正整数) (与えられた実数) とする．このとき と定め，このをの指数という． ☆ 注意 「s.t.」が入らないときは，「与えられた数」と表示する． 指数…

とする．このとき，次の単項式の次数と係数を答えよ．また，〔 〕内の文字に着目したときの次数と係数を答えよ． (1) (解答) ① ② ③ (2) (解答) ① ② ③

とする．このとき (1) に対して (ア) (イ) (2) 分配法則 (ア) (イ) (3) (ア) (イ) が成立する． (証明) (1) (ア) を示す． を仮定する．このとき s.t. に対して と置けば，についてもが存在する．したがって，→-導入より と書ける．すなわち が成立する． (…

とする． 和集合 s.t. 共通部分 但しは自由変項

とする．このとき，次が成立する． (1) (ア) (イ) (2) (ア) (イ) (証明) (1) (ア) を示す． を仮定する．このとき，∨-導入より i.e. を得る．したがって，→-導入から(ア)が示された． (イ) (ア)と同様に示される． (2) (ア) を示す． を仮定する．このとき …

定理2.2 とする．このとき (ア) (イ) が成立する． (証明) (ア) ① を示す． を仮定する．このとき i.e. (選言三段論法) i.e. (選言三段論法) i.e. (∨-導入) i.e. i.e. したがって，→-導入より を得る． ② も①と同様に示される． (イ) ① を示す． を仮定する…

とする．このとき が成立する． (証明) を仮定し，を導出する．を仮定すると∧-除去より i.e. i.e. と書ける．ここで，を仮定すると→-除去より を得る．このようなに対して，→-除去を適用すれば が導き出される．それゆえ，→-導入より i.e. が示された．▢

とする．このとき，次のことが成り立つ． (ⅰ) (ⅱ) (ⅲ) (ⅰ)に関する補足 数学では強選言を採用していると考えるので，とは異なるものと考える．いま，に対して と書けるとする．このとき選言三段論法によって，を否定する．しかし，これは直接を否定している…

と置く．このときである． (証明) (⇒) s.t. を示す． を仮定すると，の条件より () と書くことができる．いま と置くと i.e. を得る．これより，→-導入から が成立する． (⇐) s.t. を示す． を仮定すると，の条件よりは和と積で閉じているので で表される．…