日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理2.5　17項

福田拓生『集合への入門(無限をかいま見る)』培風館 2018

$\mathbb{Z}^+=\{1,2,...,n,n+1,......\}$

$A_1,...,A_n：n個の集合$

$B：1つの集合$

とする．このとき

(1)　 $j=［1,2,...,n］$ に対して

(ア)　 $A_j⊂\displaystyle\bigcup_{i=1}^n A_i$

(イ)　 $\displaystyle\bigcap_{i=1}^n A_i⊂A_j$

(2)　分配法則

(ア)　 $(\bigcup_{i=1}^n A_i)∩B=\displaystyle\bigcup_{i=1}^n (A_i∩B)$

(イ)　 $(\bigcap_{i=1}^n A_i)∪B=\displaystyle\bigcap_{i=1}^n (A_i∪B)$

(3)

(ア)　 $\displaystyle\bigcup_{i=1}^n A_i⊂B　⇔　j=［1,2,...,n］A_j⊂B$

(イ)　 $B⊂\displaystyle\bigcap_{i=1}^n A_i　⇔　j=［1,2,...,n］B⊂A_j$

が成立する．

(証明)

(1)

(ア)　 $x∈A_j　⇒　x∈\displaystyle\bigcup_{i=1}^n A_i$ を示す．

　 $j=［1,2,...,n］x∈A_j$ を仮定する．このとき

$i=［1,2,...,n］$ 　s.t.　 $x∈A_i$

に対して

$n:=1$

と置けば， $x∈A_j$ についても $x∈A_1$ が存在する．したがって，→-導入より

$x∈A_1(jのうちの1)　⇒　x∈A_1(iのうちの1)$

と書ける．すなわち

$x∈A_j　⇒　x∈\displaystyle\bigcup_{i=1}^n A_i$

が成立する．

(イ)　 $x∈\displaystyle\bigcap_{i=1}^n A_i　⇒　x∈A_j$ を示す．

　 $x∈\displaystyle\bigcap_{i=1}^n A_i$ を仮定する．このとき

$i=［1,2,...,n］x∈A_i$

に対して

$j=［1,2,...,n］x∈A_j$

であるから，→-導入より

$x∈A_i　⇒　x∈A_j$ 　i.e.　 $x∈\displaystyle\bigcap_{i=1}^n A_i　⇒　x∈A_j$

が成立する．

(2)　分配法則

(ア)　①　 $x∈(\bigcup_{i=1}^n A_i)∩B　⇒　x∈\displaystyle\bigcup_{i=1}^n (A_i∩B)$ を示す．

　 $x∈(\bigcup_{i=1}^n A_i)∩B$ を仮定する．このとき

$i=［1,2,...,n］$ 　s.t.　 $x∈(A_i)∩B$

に対して

$n:=2$

と置けば

$x∈(A_1∪A_2)∩B$ について定理2.3を適用すると

$x∈(A_1∩B)∪(A_2∩B)$

である．したがって

$x∈\displaystyle\bigcup_{i=1}^n (A_i∩B)$

を得るので①が示された．

②　 $x∈\displaystyle\bigcup_{i=1}^n (A_i∩B)　⇒　x∈(\bigcup_{i=1}^n A_i)∩B$ も①と同様に示される．

(イ)　

①　 $x∈(\bigcap_{i=1}^n A_i)∪B　⇒　x∈\displaystyle\bigcap_{i=1}^n (A_i∪B)$ を示す．

　 $x∈(\bigcap_{i=1}^n A_i)∪B$ を仮定する．このとき

$x∈(A_1∩\cdots\cdots ∩A_n)∪B$

i.e.　 $(x∈A_1∧\cdots ∧x∈A_n)∨x∈B$

$x∈A_1$ 　　(∧-除去)

$\cdots\cdots$

$x∈A_n$ 　　(∧-除去)

これらに∨-導入を各々適用すれば

$x∈A_1∨x∈B$

$\cdots\cdots$

$x∈A_n∨x∈B$

と書ける．すなわち

$x∈(A_1∪B)∩\cdots∩(A_n∪B)$ 　i.e.　 $x∈\displaystyle\bigcap_{i=1}^n (A_i∩B)$

を得る．したがって，→-導入より①が示された．

②　 $x∈\displaystyle\bigcap_{i=1}^n (A_i∪B)　⇒　x∈(\bigcap_{i=1}^n A_i)∪B$ も①と同様に示される．

(3)

(ア)

(⇒)　 $〔x∈\displaystyle\bigcup_{i=1}^n A_i　⇒　x∈B〕⇒　〔x∈A_j　⇒　x∈B〕$ を示す．

　 $x∈\displaystyle\bigcup_{i=1}^n A_i　⇒　x∈B$ を仮定する．このとき

$i=［1,2,...,n］$ 　s.t.　 $x∈A_i　⇒　x∈B$

について

$n:=1$

と置けば

$x∈A_1　⇒　x∈B$

と書ける．これに対して

$j=［1,2,...,n］x∈A_j　⇒　x∈B$

を仮定すれば $j$ は1をも含むので，仮定

$x∈A_1　⇒　x∈B$

より $x∈B$ を得る．したがって，→-導入から(⇒)が示された．

(⇐)　 $〔x∈A_j　⇒　x∈B〕⇒　〔x∈\displaystyle\bigcup_{i=1}^n A_i　⇒　x∈B〕$ を示す．

　 $j=［1,2,...,n］x∈A_j　⇒　x∈B$ を仮定する．このとき

$x∈\displaystyle\bigcup_{i=1}^n A_i$

を仮定すれば $i=n$ のとき仮定 $x∈A_j⇒x∈B$ から $x∈B$ を得る．それゆえ，→-導入より(⇐)が成立する．

(イ)

(⇒)　 $〔x∈B　⇒　x∈\displaystyle\bigcap_{i=1}^n A_i〕 ⇒〔x∈B　⇒　x∈A_j〕$ を示す．

　 $x∈B⇒x∈\displaystyle\bigcap_{i=1}^n A_i$ を仮定する．このとき $x∈B$ を仮定すると，→-除去から

$x∈\displaystyle\bigcap_{i=1}^n A_i$

を得る．すなわち

$i=［1,2,...,n］x∈A_j$

であるから

$j=［1,2,...,n］x∈A_i$

も成立する．それゆえ，→-導入より(⇒)が成立する．逆も同様．▢