とする．このとき (1) に対して (ア) (イ) (2) 分配法則 (ア) (イ) (3) (ア) (イ) が成立する． (証明) (1) (ア) を示す． を仮定する．このとき s.t. に対して と置けば，についてもが存在する．したがって，→-導入より と書ける．すなわち が成立する． (…

とする． 和集合 s.t. 共通部分 但しは自由変項

とする．このとき，次が成立する． (1) (ア) (イ) (2) (ア) (イ) (証明) (1) (ア) を示す． を仮定する．このとき，∨-導入より i.e. を得る．したがって，→-導入から(ア)が示された． (イ) (ア)と同様に示される． (2) (ア) を示す． を仮定する．このとき …

定理2.2 とする．このとき (ア) (イ) が成立する． (証明) (ア) ① を示す． を仮定する．このとき i.e. (選言三段論法) i.e. (選言三段論法) i.e. (∨-導入) i.e. i.e. したがって，→-導入より を得る． ② も①と同様に示される． (イ) ① を示す． を仮定する…

とする．このとき が成立する． (証明) を仮定し，を導出する．を仮定すると∧-除去より i.e. i.e. と書ける．ここで，を仮定すると→-除去より を得る．このようなに対して，→-除去を適用すれば が導き出される．それゆえ，→-導入より i.e. が示された．▢

とする．このとき，次のことが成り立つ． (ⅰ) (ⅱ) (ⅲ) (ⅰ)に関する補足 数学では強選言を採用していると考えるので，とは異なるものと考える．いま，に対して と書けるとする．このとき選言三段論法によって，を否定する．しかし，これは直接を否定している…

と置く．このときである． (証明) (⇒) s.t. を示す． を仮定すると，の条件より () と書くことができる．いま と置くと i.e. を得る．これより，→-導入から が成立する． (⇐) s.t. を示す． を仮定すると，の条件よりは和と積で閉じているので で表される．…

と置く．このときである． 補足 ではないので，ではない．それゆえ 乃至(強選言) とは表せない．ここで，強選言とは，どちらか一方が成立しそれを選べる，という意味である． (証明) s.t. を示す． を仮定するとの性質より () と書ける．いま と置けばである…

実数で考えるが，自由変項を扱う実関数を写像と呼ぶことにする． ここでは，関数(束縛変項)ではなく，写像(自由変項)で考える． 自由変項が自由変項以外の値をとりながら，に限りなく近づくとき，写像の値が一定の値に限りなく近づくなら，がに近づくときの…

原始写像とは何か？ 原始関数とは をみたすものをいう．このときの方程式の解を (は自由変項) と置いたものが原始写像である．この原始写像を微分すると (は自由変項) i.e. 写像の積分に成る． の例 に対して方程式を立て，これを解けば i.e. を得る．ここで…

用語(唯名的定義) 平面または(乃至)空間に置いて，を始点，を終点とする有向線分をで表す． 有向線分に置いて，その位置を問題にせず，その大きさと向きだけを考えたとき，これをベクトルという．これより，有向線分をベクトルと考えたとき，もし，がから平…

定積分 84項 関数が区間(自由変項)で連続で正の値 > をとるとき，面積は原始関数である．いま，原始関数に対して，と置くとゆえ，である．また，と置けばゆえ，．これより で表す．そしてこれをライプニッツの記号で と書くとき，関数の定積分という．

原始関数(不定積分) 83項 正確な議論は次節で行う．いま，区間(自由変項)上で連続で，正の値 > をとる関数を考える．そのグラフ及び軸と直線，直線で囲まれた面積をと置く．これをの関数と考えたい．ここで， > を十分小さい実数としてを考えると，の周りで…

s.t. > が成立する．但し，等号はのとき，そのときのみ成り立つ． (証明) 等号を示す．に関してと置き s.t. s.t. を示す． であるから，これを量化して を得る．不等号は∨-導入による．▢

曲線の媒介変数表示 73項 平面を運動する点 但し s.t. s.t. は曲線を描く．一般に平面上の曲線上の点の-座標，-座標が自由変項(時間とは限らない)の関数として で表されるとき，を媒介変数(パラメータ)とする曲線の媒介変数表示(パラメータ表示)とよぶ． 特…

速度と加速度 i.e. 実数直線上の点 とする．このとき，点の位置を とする．但し である．そして，導関数 を速度とよぶ． また， > < )とはが軸上，正の方向(または負の方向)へ進むことを意味する．ここで，を速さという． まとめ s.t. より () また， s.t. …

命題1.2 9項 とする．このとき次が成立する． (1) (2) (3) (証明) (1)について s.t. を示す．を仮定すると→-導入より であるから，これを量化すれば を得る． (2)について s.t. を示す．を仮定する．いま排中律より である．ここで，を仮定し，これに選言三…

演習2 三角不等式 6項 座標平面に対して点の間の距離を で定める．いま，1つの点について三角不等式 が成立する． (証明) 等号の関係を示せば，∨-導入により不等号が示される．すなわち i.e. である． に対して s.t. s.t. と置けば 同様にして であるから ☆ …

定理2 19項 (写像) 但しは次元ベクトル とする(一次写像の前提)．このとき，次元ベクトル空間から次元ベクトル空間への1つの写像を定義する．逆に次元ベクトル空間から次元ベクトル空間への1つの一次写像は1つの行列によって () (準備) 順は先に示されたので…

定理2.13 テイラーの定理 58項 関数は区間(は自由変項)で-関数であり，区間で回微分可能とする．但し，とは s.t. をいう．このとき をみたす( < < )が存在する( < でも成立)．すなわちより である． (証明) s.t. s.t. に対して関数は で表される．このとき …

n回連続微分可能な関数・何回でも微分可能な関数 57項 s.t. に対して，回微分可能でが連続である関数を回連続微分可能な関数(-関数)とよぶ．そして，-関数とは連続関数を指す．また何回でも微分可能な関数を-関数という．

極大・極小 57項 とする．このとき，がで極大(極小)とは > > < < < ( > ) i.e. s.t. ① s.t. ② < < < をみたすことをいう．とくにを極大値(極小値)とよぶ． もし関数の右側極限しか考えられないのなら > < < < である．