日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

原始関数(不定積分)　83項

難波誠『(数学シリーズ)微分積分学』裳華房 2022年第17版 12刷

原始関数(不定積分)　83項

　正確な議論は次節で行う．いま，区間 $a,b$ (自由変項)上で連続で，正の値 $f(x)$ > $0$ をとる関数 $y=f(x)$ を考える．そのグラフ及び $x$ 軸と直線 $x=a$ ，直線 $x=x$ で囲まれた面積を $S(x)$ と置く．これを $x$ の関数と考えたい．ここで， $h$ > $0$ を十分小さい実数として $S(x+h)$ を考えると， $x$ の周りでの $f(x)$ の増減に従って

$hf(x)≤S(x+h)-S(x)≤hf(x+h)$

か，または

$hf(x)≥S(x+h)-S(x)≥hf(x+h)$

が成立する．これより

$f(x)≤\displaystyle\frac{S(x+h)-S(x)}{h}≤f(x+h)$

または

$f(x)≥\displaystyle\frac{S(x+h)-S(x)}{h}≥f(x+h)$

と成る．いま， $h→0$ とすることにより

$\displaystyle\frac{S(x+h)-S(x)}{h}→f(x)$ 　　( $h→+0$ )

☆　右側極限のみを考える

　すなわち，面積 $S(x)$ は(右側)微分可能で $S'(x)=f(x)$ である．一般に関数 $f(x)$ に対し $F'(x)=f(x)$ と成る微分可能な関数 $F(x)$ を $f(x)$ の原始関数(不定積分)とよび，ライプニッツの記号で

$F(x)=:\displaystyle\int f(x)dx$

と書く．

まとめ1

$\mathbb{Z}^+=\{1,2,...,n,n+1,......\}$

$x=［a_1,...,a_n］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.

$F'(x)=f(x)=0$

と成る微分可能な $F(x)$ を $f(x)$ の原始関数という．すなわち

$F(x)=:\displaystyle\int f(x)dx=\displaystyle\int 0 dx=C$ 　　( $Cは自由変項$ )

まとめ2

①　 $F'(x)=f(x)=0$ をみたすような $F(x)$ を関数 $f(x)$ の原始関数

②　 $原始関数とは記号\displaystyle\int f(x)dx:=F(x)$ で表す

①と②より

$F(x)=:\displaystyle\int f(x)dx=\displaystyle\int F'(x)dx=\displaystyle\int 0 dx =C$

であるから

$F(x)=:C$

と書ける．これより，関数 $f(x)$ の原始関数 $F(x)$ は自由変項 $C$ である．