日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

物体の位置に関する速さの点は静止状態であり時刻のみが動くことについて

難波誠『(数学シリーズ)微分積分学』裳華房 2022年第17版 12刷

速度と加速度

$x：x軸上の点$ 　i.e.　実数直線上の点

$t：時刻$

とする．このとき，点の位置を

$x:=x(t)$

とする．但し

$x(t)：tの微分可能な関数$

である．そして，導関数

$v=x'(t)=\displaystyle\frac{dx}{dt}$

を速度とよぶ．

　また， $v$ > $0(またはv$ < $0$ )とは $x(t)$ が $x$ 軸上，正の方向(または負の方向)へ進むことを意味する．ここで， $|v|$ を速さという．

まとめ

$\mathbb{Z}=\{......,-n-1,-n,...,-1,0,1,...,n,n+1,......\}$

$x=［a_1,...,a_n］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.　

$x'=0$ より

$v=x'(t)=0(t)$ 　　( $t∈\mathbb{R}は自由変項$ )

また， $x=［a_{-1},...,a_{-n}］$ 　s.t.　も同様．

例

$t=1,2,3$ に対して

$0(1)=1,　0(2)=2,　0(3)=3$

より

$v=1,2,3$

である．

平面上の点

　平面上を運動する点の，時刻 $t$ での位置を

$P:=(x,y)=(x(t),y(t))$

とする．但し $x(t),y(t)$ が $t$ の微分可能な関数である．このとき，ベクトル

$\mathbf{v}:=\displaystyle\frac{dP}{dt}=(x'(t),y'(t))$

を速度といい，その長さ

$|\mathbf{v}|:=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}$

を速さとよぶ．

　さらに， $x(t),y(t)$ が $t$ の2回微分可能な関数とするとき，ベクトル

$\mathbf{α}:=\displaystyle\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\displaystyle\frac{d^2P}{dt^2}=(x''(t),y''(t))$

を加速度という．

まとめ

　実数直線の点と同様にして，座標平面の点に関しても $x''=0,y''=0$ より

$x''(t)=0(t),　y''(t)=0(t)$

である．

例

$P=(x(1),y(2))$

$\mathbf{v}=(x'(1),y'(2))=(0(1),0(2))=(1,2)$

$Q=(x(0),y(3))$

$\mathbf{u}=(x'(0),y'(3))=(0(0),0(3))=(0,3)$

したがって

$\mathbf{v}=(1,2),　\mathbf{u}=(0,3)$

である．

　同様にして，加速度も

$(x''(0),y''(1))=(0(0),0(1))=(0,1)$ 　i.e.　 $\mathbf{α}=(0,1)$

などと書ける．これより，点は静止状態で時刻のみが動くことがわかる．つまり，点の位置は時刻に依存して決まり，点それ自体は動いていない，と考える．