定理2.2　43項

定理2.2　43項

　関数 $f(x)$ と $g(x)$ が $x=a$ で微分可能なら $f(x)+g(x),f(x)-g(x),cf(x),f(x)g(x),f(x)/g(x)$ も微分可能で

(1)　 $(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)$

(2)　 $(f-g)'(a)=f'(a)-g'(a)$

(3)　 $(cf)'(a)=cf'(a)$ 　　( $cは自由変項(実数)$ )

(4)　 $(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$

(5)　 $(f/g)'(a)=\displaystyle\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^2}$ 　　( $g(a)≠0$ )

と書ける．

(証明)

(1)について

　条件より $f(x)$ は $x=a$ で微分可能であるから

$f'(a)=\displaystyle\lim_{x→a}\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

が存在する．同様に $g(x)$ についても

$g'(a)=\displaystyle\lim_{x→a}\displaystyle\frac{g(x)-g(a)}{x-a}$

がある．このとき $f(x)+g(x)$ も微分可能であり

$(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)$

と書けることを示す．

　いま

$(f+g)'(a)=\displaystyle\lim_{x→a}\displaystyle\frac{(f+g)(x)-(f+g)(a)}{x-a}$

$f'(a)+g'(a)=\displaystyle\lim_{x→a}\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}+\displaystyle\lim_{x→a}\displaystyle\frac{g(x)-g(a)}{x-a}$

に対して

$s=［x］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　

$t=［y］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　 $y:=0$ 　( $f(x)=y$ )

$u=［z］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　 $z:=0$ 　( $g(x)=z$ )

$f(x)=0,g(x)=0,(f+g)(x):=0$

と置けば

$(f+g)'(a)=0$

$f'(a)+g'(a)=0+0=0$

より成る．

(2)について

　(1)と同様である．

$(f-g)'(a)=\displaystyle\lim_{x→a}\displaystyle\frac{(f-g)(x)-(f-g)(a)}{x-a}$

$f'(a)-g'(a)=\displaystyle\lim_{x→a}\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-\displaystyle\lim_{x→a}\displaystyle\frac{g(x)-g(a)}{x-a}$

$f(x)=0,g(x)=0,(f-g)(x):=0$

と置けば

$(f-g)'(a)=0$

$f'(a)-g'(a)=0-0=0$

である．

(3)について

$(cf)'(a)=\displaystyle\lim_{x→a}\displaystyle\frac{(cf)(x)-(cf)(a)}{x-a}=0$

$f(x)=0,(cf)(x):=0$

$cf'(a)=c\displaystyle\lim_{x→a}\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=c×0=0$

より成る．

(4)について

$(fg)'(a)=\displaystyle\lim_{x→a}\displaystyle\frac{(fg)(x)-(fg)(a)}{x-a}=0$

$f(x)=0,g(x)=0,(fg)(x):=0$

$f'(a)g(a)+f(a)g'(a)=0×0+0×0=0$

より成る．

(5)について

$(f/g)'(a)=\displaystyle\lim_{x→a}\displaystyle\frac{(f/g)(x)-(f/g)(a)}{x-a}=0$

$f(x)=0,g(x)=z,(f/g)(x):=0$

$\displaystyle\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^2}=\displaystyle\frac{0×g(a)-0×g'(a)}{g(a)^2}=0$

による．▢

補足　関数 $f(x)=y$ について

　 $f(x)=0$ というのは

$\mathbb{Z}^+=\{1,2,...,n,n+1,......\}$

$k=［n］_{\mathbb{Z}^+}$ 　s.t.

$x=［a_1,...,a_n］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.　

$y=［b_1,...,b_n］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.　 $f(x)=y$ 　☆

に対して，たとえば $a_1:=1,b_1:=0$ と置いた場合の略記である．関数の始域のどの元が終域のどの元に対応しているのか，具体的には決まっておらず，自由である．これが決まっているものを定数関数(定値写像)とよぶ．今まで $f(x)$ に対して $f(x)=y$ は定値写像のような表記になっており，重大な誤りを誘導していた．しかし，☆のように考えることで，写像(関数)では単に $x$ から $y$ が対応している，ということのみがわかっているだけであり，具体的にたとえば $a_1$ が $y$ のどの元をとるのか，ということについて言及していなかった．いま， $f$ と $g$ の合成関数を考えると