日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理1.19　中間値の定理　31項

難波誠『(数学シリーズ)微分積分学』裳華房 2022年第17版 12刷

定理1.19　中間値の定理　31項

$f(x)：閉区間［a,b］上の正の連続関数(x=α),αは自由変項(正の実数)$

$x,s,t：束縛変項(正の実数)$

$a,b：自由変項(正の実数)$

$f(a)$ < $f(b)$

$［a,b］:=\{x∈\mathbb{R}^+|a≤x≤b\}$

とする．このとき

$s=［c］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　 $f(a)$ < $c$ < $f(b)$ 　①

$t=［d］_{［a,b］}$ 　s.t.　 $f(d)=c$ 　①

が成立する( $f(a)$ > $f(b)$ も同様)．

(証明)

補足　正の実関数 $f(x)$ について

$\mathbb{Z}^+=\{1,2,...,n,n+1,......\}$

$k=［n］_{\mathbb{Z}^+}$ 　s.t.

$x=［a_1,...,a_n］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　 $f(\mathbb{R}^+):=\{f(a_1),f(a_2),...,f(a_n)\}$

とする．このとき

$y=［b_1,...,b_n］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.

$f(a_1),...,f(a_n)=b_1,...,b_n$ 　

が唯一つ成立する．

$n:=3$ と置き

$f(a)=:b_1$ ， $f(b)=:b_3$

に対して

$f(c)=:b_2$

とし

$b_1$ < $b_3$ 　より　 $b_1$ < $b_2$ < $b_3$

を示す．たとえば

$b_1:=1$ ， $b_3:=3$ 　　(条件 $f(a)$ < $f(b)による$ )

について

$b_2:=2$

と置けばよい．▢