日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理1.7の系　25項

難波誠『(数学シリーズ)微分積分学』裳華房 2022年第17版 12刷

定理1.7の系　25項

　多項式は連続関数である．また，有理式は分母が $0$ にならない所で連続関数である．

(証明)

(1)　多項式について

$k=［n］_{\mathbb{Z}_{≥0}}$ 　s.t.　( $∀n∈\mathbb{Z}_{≥0}$ )

$f(x):=a_nx^n+a_{n-1}+\cdots +a_2x^2+a_1x+a_0$ 　( $a_0,...,a_n∈\mathbb{R}$ )

と置く．このとき

$α(x):=f(x)$

に対して

$α(x)→α(c)$ 　( $x→c$ )

を示す．但し

$x：個体変項(正の実数)$

$c：個体定項(正の実数)$

$α(x)：xの関数$

である．多項式 $f(x)$ に対して $n:=0$ と置けば

$α(x)=f(x)=a_0$ 　( $a_0∈\mathbb{R}$ )

であるから，実質的に多項式関数を実関数と考えてよい．それゆえ， $x:=c$ に対して

$α(x)→α(c)$ 　( $x→c$ )

が成立する．

(2)　有理式について

　(1)と同様にして多項式を

$g(x):=b_nx^n+b_{n-1}+\cdots +b_2x^2+b_1x+b_0$ 　( $b_0,...,b_n∈\mathbb{R}$ )

と置く．このとき

$\displaystyle\frac{a_0}{b_0}$ 　( $a_0,b_0∈\mathbb{R}$ ，n:=0)

という実関数で考えれば， $x:=c$ のとき定理1.17より連続関数の商は連続関数であることからわかる．▢