日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理1.7　収束列は有界列であること　7項

難波誠『(数学シリーズ)微分積分学』裳華房 2022年第17版 12刷

意義

　数列 $\{a_n\}$ を実数の集合と看做すとき，もしこの $\{a_n\}$ が上に有界なら，この数列は上に有界である，という．「上界」，「上限」，「下界」，「下限」，「有界」も同様に用いる．

定理1.7

　収束する数列は有界である

(証明)

　数列が収束することを仮定する．たとえば

$α:=\displaystyle\lim_{n→∞}a_n$

と置くと

$∀x［x∈\mathbb{R}^+→∀x［x∈\mathbb{R}^+→∃x［x∈\mathbb{R}^+∧x=a］］］$

$∃y［y∈\mathbb{N}∧y=b］$ 　

$x=［ε］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　

$y=［N］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.　

$∀z［z∈\mathbb{N}→∀z［z∈\mathbb{N}→∃x［x∈\mathbb{N}∧z=c］］］$

$z=［n］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.　

$n≥N　⇒　|a_n-a|$ < $ε$

と表示できる．このとき

$ε:=1$

$N:=1$

に対して $n:=1$ と置けば

$1≥1　⇒　|a_1-α|$ < $1$

である．ここで

$|a_1-α|=0$

を考えれば，絶対値の性質(非退化)より

$a_1-α=0$ 　i.e.　 $a_1=α$

を得る．それゆえ，∨-導入より

$a_1≤α$

であるので，定理が成立する．▢

定理の逆は不成立であること

　有界な数列は収束する

(考察)

　与えられた数列が有界であるとすれば

$∃y［y∈\mathbb{R}∧y=b］$

$y=［α］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.　①

$∀x［x∈\mathbb{R}→∀x［x∈\mathbb{R}→∃x［x∈\mathbb{R}∧x=a］］］$

$x=［a］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.　 ②

$a≤α$

と書ける．このとき，次のような場合分けをする．

(1)　 $a=α$ のとき

$a-α=0$ 　i.e.　 $|a-α|$ < $1$

と表示できるが，しかし $ε=1$ とは限らない(二重∀-導入ができない)．

(2)　 $a$ < $α$ のとき

$a-α$ < $0$ 　i.e.　 $|a-α|$ < $1$

で書けるとは限らない．

　したがって，有界列は収束列とは限らない．▢