日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理1.5　5項

難波誠『(数学シリーズ)微分積分学』裳華房 2022年第17版 12刷

定理1.5　5項

$β：正の実数(自由変項)$

とする．このとき，実数列

$β,\displaystyle\frac{β}{2},\displaystyle\frac{β}{3},\cdots\cdots,\displaystyle\frac{β}{n},\cdots\cdots$

は $0$ に収束する．

(証明)

　アルキメデスの公理(公理Ⅰ)より

$∀x［x∈\mathbb{R}^+→∀x［x∈\mathbb{R}^+→∃x［x∈\mathbb{R}^+∧x=a］］］$

$∃y［y∈\mathbb{N}∧y=b］$ 　

$x=［ε］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　

$y=［N］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.　

$β$ < $εN$

と成る．このとき

$∀z［z∈\mathbb{N}→∀z［z∈\mathbb{N}→∃x［x∈\mathbb{N}∧z=c］］］$

$z=［n］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.　

$n≥N⇒β$ < $εn$ 　i.e.　 $\displaystyle\frac{β}{n}$ < $ε$

である．したがって

$\displaystyle\frac{β}{n}→0$ 　　( $n→∞$ )　i.e.　 $\displaystyle\lim_{n→∞}\displaystyle\frac{β}{n}=0$

を得る．

補足

$|β/n-0|=|β/n|=\displaystyle\frac{β}{n}$ < $ε$ 　　( $β$ > $0$ , $n$ > $0$ )

$∀z［z∈\mathbb{N}→∀z［z∈\mathbb{N}→∃x［x∈\mathbb{N}∧z=c］］］$

$z=［n］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.

$n≥N⇒|a_n-a|$ < $ε$

系(オリジナル， $ε$ - $N$ 論法の練習)

$たとえばβ=1のとき$

$1,\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{1}{3},\cdots\cdots,\displaystyle\frac{1}{n},\cdots\cdots$

は $0$ に収束する．定理1.5と同様にして

$ε:=1$

$N:=2$

に対して

$n:=2$

と置けばアルキメデスの公理より

$1$ < $1・2$ 　i.e.　 $\displaystyle\frac{1}{2}$ < $1$ 　　( $n≥N$ )

ならば(⇒)

$|1/2-0|=|1/2|=\displaystyle\frac{1}{2}$ < $1$ 　　( $1/2$ > $0$ )　☆

を得る．そして，☆は仮定に依存していない．したがって， $n$ について∀-導入を適用することができるので，このような実数列は $0$ に収束する．すなわち

$\displaystyle\lim_{n→∞}\displaystyle\frac{1}{n}=0$

が導出される．▢