日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理1.3　4項

難波誠『(数学シリーズ)微分積分学』裳華房 2022年第17版 12刷

定理1.3　4項

$\{a_n\},\{b_n\}$ ：2つの実数列

$\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=a$

$\displaystyle\lim_{n→∞}b_n=b$

とする．このとき

$a_n≤b_n→a≤b$

が成立する．

(証明)

1　(1)　 $\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=a∧\displaystyle\lim_{n→∞}b_n=b$ 　前提

∧-除去より

$∀x［x∈\mathbb{R}^+→∀x［x∈\mathbb{R}^+→∃x［x∈\mathbb{R}^+∧x=ε］］］$

$∃y［y∈\mathbb{N}∧y=N］$ 　

$x=［ε］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　

$y=［N］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.　

$∀z［z∈\mathbb{N}→∀z［z∈\mathbb{N}→∃x［x∈\mathbb{N}∧z=n］］］$

$z=［n］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.　

$n≥N　⇒$ 　

$|a_n-a|$ < $ε$

同様にして

$n≥N　⇒$ 　

$|b_n-b|$ < $ε$

と書ける．このとき

2　(2)　 $a_n≤b_n$ 　　仮定

$ε:=1$

$N:=1$

に対して $n:=1$ と置けば

$1≥1　⇒$

$|a_1-a|$ < $1$

$|b_1-b|$ < $1$

であるから

$|a_1-a|=0$

$|b_1-b|=0$

を考えると，絶対値の性質(非退化)より

$a_1-a=0$ 　i.e.　 $a_1=a$

$b_1-b=0$ 　i.e.　 $b_1=b$

である．したがって，仮定より

$a_1≤b_1→a≤b$ 　☆　(→-導入，仮定落とし)

を得る．これより仮定に依存する判断はないので☆に∀-導入を適用することができる．それゆえ定理が成立する．▢