日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理1.16　25項

難波誠『(数学シリーズ)微分積分学』裳華房 2022年第17版 12刷

定理1.16　25項

$x：個体変項(正の実数)$

$a：個体定項(正の実数)$

$f(x)：xの関数$

$A：f(x)の極限値(1つのA)$

とする．このとき

$f(x)$ が $x=a$ で連続

$⇔$

$x_n→a (n→∞)$ となる数列 $\{x_n\}$ に対して

$f(x_n)→f(a)$ 　　( $n→∞$ )

と成ることである．

(証明)

( $⇒$ )

　 $f(x)$ が $x=a$ で連続と仮定し，以下のような数列 $\{x_n\}$

$s=［ε］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　( $∀ε∈\mathbb{R}^+$ )　　①

$t=［N］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.　( $∀N∈\mathbb{N}$ )　　①

$u=［n］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.　( $∀n∈\mathbb{N}$ )　　②

$v=［M］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　( $∀x∈\mathbb{R}^+$ )　　③　

$w=［x］_{\mathbb{R}_{≥0}}$ 　s.t.　( $∀M∈\mathbb{R}_{≥0}$ )　　④　

$n≥N$ 　 $⇒$ 　 $|x_n-a|$ < $ε$

に対して

$x_n$ > $M$ 　 $⇒$ 　 $|f(x_n)-f(a)|$ < $ε$

が成り立つことを示す．

$ε:=1$

$N:=1$

$n:=1$

$M:=1$

$x_1:=a$

と置くと

$1≥1$ 　 $⇒$ 　 $|a-a|=0$ < $1$

であり

$a$ > $1$ 　 $⇒$ 　 $|f(a)-f(a)|=0$ < $1$

が成立する．

( $⇐$ )

$x_n→a (n→∞)$ となる数列 $\{x_n\}$ に対して

$f(x_n)→f(a)$ 　　( $n→∞$ )

が成立すると仮定する．

$s=［ε］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　( $∀ε∈\mathbb{R}^+$ )　　①

$t=［δ］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　( $∃δ∈\mathbb{R}^+$ )　　①

$u=［x］_{\mathbb{R}_{≥0}}$ 　s.t.　( $∀M∈\mathbb{R}_{≥0}$ )　　②

に対して

$|x-a|$ < $δ$ 　 $⇒$ 　 $|f(x)-f(a)|$ < $ε$

が成り立つことを示す．そのために

$|x-a|$ < $δ$

を仮定し

$ε:=1$

$δ:=1$

$x:=a$ 　

と置けば

$|a-a|=0$ < $1$ 　 $⇒$ 　 $|f(a)-f(a)|=0$ < $1$

が成立する．▢