日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

例1.1　等比数列の収束と発散について　8項

難波誠『(数学シリーズ)微分積分学』裳華房 2022年第17版 12刷

例1.1　8項

$r$ > $0$ 　i.e.　 $x=［r］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　( $∀r∈\mathbb{R}^+$ )

$y=［n］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.　( $∀n∈\mathbb{N}$ )

とする．このとき，等比数列

$r,r^2,r^3,\cdots ,r^n ,\cdots\cdots$

は

(ⅰ)　 $0$ < $r$ < $1　⇒　\displaystyle\lim_{n→∞}r^n=0$

(ⅱ)　 $r=1　⇒　\displaystyle\lim_{n→∞}r^n=1$

(ⅲ)　 $r$ > $1　⇒　\displaystyle\lim_{n→∞}r^n=+∞$

と成る．

(証明)

(ⅰ)について

$r:=\displaystyle\frac{1}{2}$

に対して

$n:=1$

と置けば定理1.5の系より

$\displaystyle\lim_{1→∞}\displaystyle\frac{1}{2}=0$ 　☆

を得る．☆に係る仮定はないので，∀-導入より(ⅰ)が示された．

(ⅱ)について

$r:=1$

に対して

$n:=s$ 　　( $s∈\mathbb{N}$ )

と置くと指数法則 $1^s=1$ より

$\displaystyle\lim_{s→∞}1^s=1$ 　☆☆

と成る．☆☆に係る仮定はないので，∀-導入より(ⅱ)が示された．

(ⅲ)について

$r:=2$

に対して

$x=［M］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　( $∀M∈\mathbb{R}^+$ )

$y=［N］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.　( $∃N∈\mathbb{N}$ )

$n≥N　⇒　2^n$ > $M$

を示す．

$M:=1$

$N:=1$

と置くと

$1≥1　⇒　2$ > $1$ 　i.e.　 $n≥N　⇒　r$ > $M$ 　☆☆☆

を構成することができる．そして，☆☆☆に係る仮定はないので，∀-導入より

$\displaystyle\lim_{n→∞}r^n=+∞$

が示された．▢