日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

命題1.9　9項

梅原雅顕・一木俊助『これからの集合と位相』裳華房 2022

命題1.9　9項

$A,B：1つの集合$

とする．このとき

(ア)　 $A∩B=B←→B⊂A$

(イ)　 $A∪B=B←→A⊂B$

が成立する．

(証明)

(ア)

(→)について　 $A∩B=B→B⊂A$

$∀x［x∈B→∀x［x∈B→∃x［x∈B∧x=a］］］$

$x=［a］_B$ 　(二重∀-除去)　s.t.

$［a∈A∧a∈B←→a∈B］→［a∈B→a∈A］$

を示す．

0,1　(1)　 $a∈A∧a∈B←→a∈B$ 　　仮定

2 　(2)　 $a∈B$ 　　仮定

i.e.　 $a∈A∧a∈B$ 　　1,2　

2　　(3)　 $a∈A$ 　　2.∧-除去

2　　(4)　 $a∈B$ 　　2.∧-除去

　　 (5)　 $a∈B→a∈A$ 　　3-4.→-導入

　　 (6)　 $［a∈A∧a∈B←→a∈B］$

$→［a∈B→a∈A］$ 　　1-5.→-導入

　　 (7)　 $［x∈A∧x∈B←→x∈B］$

$→［x∈B→x∈A］$ 　　6.二重∀-導入

(ア)

(←)について

(→)と同様にして $B⊂A→A∩B=B$ の後件を区分し

(ⅰ)　 $A∩B⊂B$

(ⅱ)　 $A∩B⊃B$

をいう．とくに(ⅰ)を示せば，残りは同様に示される．

$［a∈B→a∈A］→［a∈A∧a∈B→a∈B］$

を示す．

0,1　(1)　 $a∈B→a∈A$ 　　仮定

2　 (2)　 $a∈A∧a∈B$ 　　仮定

2　 (3)　 $a∈B$ 　　2.∧-除去

　　 (4)　 $a∈A∧a∈B→a∈B$ 　　2-3.→-導入

　　 (5)　 $［a∈B→a∈A］$

$→［a∈A∧a∈B→a∈B］$ 　　1-4.→-導入

　　 (6)　 $［x∈B→x∈A］$

$→［x∈A∧x∈B→x∈B］$ 　　5.二重∀-導入

　以下同様に示される．▢