ラッセルの背理(パラドックス) 3項 とする．このとき，は自身をその元にもたない． i.e. これを普通の集合と考える．そして，普通の集合全体から成る対象を普遍的なものと考えと記す．いま i.e. 単なる集合でもあり普通の集合でもあるもの とする(仮定する)…

命題8.1 52項 とする．このとき への単射は存在しない，とあるが私見では存在する，と解する． (証明) (二重∀-除去) s.t. これよりに関するs.t.の性質から 有限集合 有限集合 である．つまり，に関するs.t.の性質から自然数は有限個であり，は単射である，と…

直積集合 但し，は選択関数である． i.e. 公理とは 数学に置いて公理とは，証明抜きに真と看做す命題のことをいう． 選択公理 とする．このとき，の各元に対して，各が空集合でなければ，直積集合 は空でない． しかし (二重∀-除去) s.t. という論理式により…

命題6.13 40項から41項 とする．このとき以下が成り立つ． (ⅰ) (ⅱ) (証明) (ⅰ) (→)について と置く． (二重∀-除去) s.t. 0,1 (1) 仮定 i.e. i.e. i.e. i.e. i.e. 0,1 (2) 1.∨-導入 3 (3) 仮定 (4) 2-3.三段論法 (5) 1-4.→-導入 (6) 5.二重∀-導入 (ⅰ)の(←)と(…

命題6.11 40項 とする．このとき次が成立する． (ⅰ) (ⅱ) (証明) (ⅰ) (→)について と置く． (二重∀-除去) s.t. (二重∀-除去) s.t. (二重∀-除去) s.t. 0,1 (1) 仮定 i.e. s.t. このときに関するs.t.の性質から s.t. i.e. s.t. i.e. と構成することができる． 0…

集合族の和集合と共通部分 38項 () とする．このとき (二重∀-除去) s.t. で表し，これを集合によって添え字付けられた集合族という． をの和集合と呼ぶ． をの共通部分と呼ぶ． 命題6.10 40項 とする．このとき次が成立する． (ⅰ) (ⅱ) (証明) (ⅰ)について (…

定義5.3 27項 とする．このとき と置く．このようなを上の抽象的なグラフという．とくに，はからへの写像全体と同一視している．これより とは等しいと看做す．但し，とは限らない． ☆ について，ではないが，集合についてであるので，部分集合は自分自身に…

命題1.10 9項 (二重∀-除去) s.t. とする．このとき (ⅰ) (ⅱ) が成立する． (証明) (ⅰ) (ア) (イ) を示す． (ア)について 0,1 (1) 仮定 i.e. 2 (2) 仮定 (3) 1-2.三段論法 (4) 3.∨-導入 (5) 4.∧-導入 i.e. (6) 1-5.→-導入 (7) 6.二重∀-導入 但し，は個体変項．…

命題1.9 9項 とする．このとき (ア) (イ) が成立する． (証明) (ア) (→)について (二重∀-除去) s.t. を示す． 0,1 (1) 仮定 2 (2) 仮定 i.e. 1,2 2 (3) 2.∧-除去 2 (4) 2.∧-除去 (5) 3-4.→-導入 (6) 1-5.→-導入 (7) 6.二重∀-導入 (ア) (←)について (→)と同様…

補題1.8 9項 とする．このとき (ア) (イ) が成立する． (証明) (ア)について と置き (二重∀-除去) s.t. を示す． 0,1 (1) 仮定 i.e. 0,1 (2) 1.∧-除去 0,1 (3) 1.∧-除去 0,1 (4) 3.∨-導入 5 (5) 仮定 (6) 4-5.三段論法 (7) 2,6.∧-導入 i.e. (8) 1-7.→-導入 (…

系1.4 6項 空集合は唯一つ存在する． 補足 「唯一つ」とは，計量数(１個)と順序数(1つ)が一致することをいう．それゆえ，計量数が2個で順序数が1つの場合を考える． 例 計量数5個 〇〇〇〇〇 順序数1つ ●〇〇〇〇 唯一つの図 〇〇〇・・・・・・ ●〇〇〇・・…

命題1.3 6項 とする．このときが成立する． (証明) (二重∀-除去) s.t. を示す． 0,1 (1) 仮定 0,1 (2) 1.∨-導入 (3) 空集合の定義 (4) 2-3.三段論法 (5) 1-4.→-導入 (6) 5.二重∀-導入

命題1.2 5項 とする．このとき である． (証明) いま である．このとき，もしが偽であるならば i.e. 真 であるのでの真理値は，の真理値の如何を問わず，真である． したがって，もしpが偽であるときは真であることがわかる．▢