日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

補題1.8　9項

梅原雅顕・一木俊助『これからの集合と位相』裳華房 2022

補題1.8　9項

$A,B,C：集合$

とする．このとき

(ア)　 $A∩B⊂A∩C$

(イ)　 $A∪B⊂A∪C$

が成立する．

(証明)

(ア)について

$P:=A∩B$

$Q:=A∩C$

と置き

$∀x［x∈P→∀x［x∈P→∃x［x∈P∧x=a］］］$

$x=［a］_P$ 　(二重∀-除去)　s.t.

$a∈P→a∈Q$

を示す．

0,1　(1)　 $a∈P$ 　　仮定

i.e.　 $a∈A∧a∈B$

0,1　(2)　 $a∈A$ 　　1.∧-除去

0,1　(3)　 $a∈B$ 　　1.∧-除去

0,1　(4)　 $a∈B∨a∈C$ 　　3.∨-導入

5　 (5)　 $￢(a∈B)$ 　　仮定

　　 (6)　 $a∈C$ 　　4-5.三段論法

　　 (7)　 $a∈A∧a∈C$ 　　2,6.∧-導入

i.e.　 $a∈Q$

　　 (8)　 $a∈P→a∈Q$ 　　1-7.→-導入

　　 (9)　 $x∈P→x∈Q$ 　　8.二重∀-導入

(イ)について

$P:=A∪B$

$Q:=A∪C$

と置く．(ア)と同様にして

$a∈P→a∈Q$

を示す．

0,1　(1)　 $a∈P$ 　　仮定

i.e.　 $a∈A∨a∈B$

2　　(2)　 $a∈A$ 　　仮定

3　　(3)　 $￢(a∈B)$ 　　仮定

　　 (4)　 $a∈A$ 　　1-3.三段論法

　　 (5)　 $a∈A∨a∈C$ 　　4.∨-導入

i.e.　 $a∈Q$

　　 (6)　 $a∈P→a∈Q$ 　　1-5.→-導入

　　 (7)　 $x∈P→x∈Q$ 　　6.二重∀-導入