日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

絶対不等式 2

東京書籍『NEW ACTION FRONTIER 数学Ⅰ+ A』 2022

絶対不等式

$\vdash 4-|x|≥0$ を解け．

(解答)

$∀x［x∈\mathbb{R}→∃x［x∈\mathbb{R}∧x=a］］$

$x=［a］_{\mathbb{R}}$ 　(∀-除去)　s.t.

$4-|a|≥0$ 　i.e.　 $-|a|≥-4$ 　i.e.　 $|a|≤4$ 　i.e.　 $-4≤a≤4$

これより

$-4≤a∧a≤4$

を考える．

1　　(1)　 $-4≤a∧a≤4$ 　　仮定

1　　(2)　 $-4≤a$ 　　1.∧-除去

i.e.　 $-4$ < $a∨-4=a$

3　　(3)　 $-4$ < $a$ 　　仮定

i.e.　 $-4≤a∧￢(-4=a)$

3　　(4)　 $￢(-4=a)$ 　　3.∧-除去

1,3　 (5)　 $-4$ < $a$ 　　2,4.三段論法

1　　 (6)　 $a≤4$ 　　1.∧-除去

i.e.　 $a$ < $4∨a=4$

7　　 (7)　 $a$ < $4$ 　　仮定

i.e.　 $a≤4∧￢(a=4)$

7　　 (8)　 $￢(a=4)$ 　　7.∧-除去

1,7　 (9)　 $a$ < $4$ 　　6,8.三段論法

1,3,7　(10)　 $-4$ < $a∧a$ < $4$ 　　5,9.∧-導入

　　　(11)　 $-4$ < $a∧a$ < $4$ 　　1-10.∨-除去

　したがって

$-4$ < $x∧x$ < $4$ 　i.e.　 $-4$ < $x$ < $4$ 　　∀-導入

である．

結果

　この問題は「または」の選択問題であることがわかった．これは次の記事で考えることにしたい．