実数の性質と三段論法の問題について

$x,y：実数(個体変項)$

$a,b：x,yの個体定項$

すなわち

$∀x［x∈\mathbb{R}→∃x［x∈\mathbb{R}∧x=a］］$

$x=［a,b］_{\mathbb{R}}$ 　(∀-除去)　s.t.

$a≤b$

とする．このとき，このような不等号の関係は $a$ < $b$ に帰結する，ことを示す．

(証明)

1　　(1)　 $a≤b$ 　　仮定

i.e.　 $a$ < $b∨a=b$

2　　(2)　 $a$ < $b$ 　　仮定

i.e.　 $a≤b∧￢(a=b)$

2　　(3)　 $￢(a=b)$ 　　2.∧-除去

1,2　 (4)　 $a$ < $b$ 　　1,3.三段論法

　　 (5)　 $a$ < $b$ 　　1-4.∨-除去

　　 (6)　 $x$ < $y$ 　　5.∀-導入

　もしも，(2)で $a=b$ を仮定すると，∨-導入により(1)を繰り返すことになるので， $a=b$ を実質的には選べない．そして，選言三段論法により $a$ < $b$ が確定する．また， $x$ < $y$ から $x≤y$ が帰結することは∨-導入により直ちにいえる．▢

　不等号という関係はすべて「<」及び「>」の何れか1個に決まることがわかった．

日記2