三者択一の法則と等号の定義

　実数体の性質として，三者択一の法則は認められるが，しかし，これが複素数体のときや，より一般の順序集合で認められるのかは，まだわからないので便宜的に実数の性質ということにする．さて，三者択一の法則とは

$∀x［x∈\mathbb{R}→∃x［x∈\mathbb{R}∧x=a］］$

$x=［a,b］_{\mathbb{R}}$ 　(∀-除去)　s.t.

$a$ < $b$ 　　　 $a=b$ 　　　 $a$ > $b$

の何れか1個が成立する，ことをいう．ここで，等号の定義を

$a=b:⇔［a$ < $b∧a$ > $b］$

と定める．つまり，三者択一の法則が成り立たないときに，等号が出現する．これより，集合の元だけでなく，集合の等号も次のように定義する．1つの集合 $A,B$ に対して

$A=B:⇔［A⊂B∧A⊃B］$

と決める．

日記2