日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

行列の指数法則　12項

佐武一郎『線型代数学』裳華房 2023 新装第2版

意義

$k=［n］_{\mathbb{Z}^+}$ 　s.t.　 $(n,n)$ 型行列 $A(1つの行列)$

を $n$ 次の正方行列という．また行列の冪を

$\mathbb{N}=\{0,1,2,...,w,w+1,......\}$

$w=［ν］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.　 $A^ν:=A・A・\cdots\cdots・A$ 　　( $ν$ 個)

で定める．但し， $A^0:=1$ である．

(15)　

$\mathbb{N}=\{0,1,2,...,w,w+1,......\}$

$r=［ν］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.

$s=［µ］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.

(ア)　 $A^νA^µ=A^{ν+µ}$

(イ)　 $(A^ν)^µ=A^{νµ}$

(証明)

(ア)について

$r:=1$

$s:=1$

に対して $n$ 次正方行列 $A$ の冪の定義より

$A^1・A^1=A^2=A^{1+1}$

による．

(イ)について

$r:=2$

$s:=3$

と置く． $n$ 次正方行列 $A$ の冪の定義より

$(A^2)^3$

$=A^2・A^2・A^2$

$=A^{2+2+2}$ 　　((ア)による)

$=A^6$

$=A^{2×3}$

による．▢

・行列の性質

$A,B：1つのn次正方行列$

とする．このとき

$(AB)^ν=A^νB^ν$ 　s.t.　 $AB=BA$

(証明)

$ν:=1$

と置くと

$(AB)^ν$

$=AB$

$A^νB^ν=AB$

による．▢

補足

　数はたとえば，実数 $a,b$ の場合 $ab=ba$ が要求されるので，行列に関して $AB=BA$ が必要である．ただ，such.that.の性質によりたとえ $AB=BA$ が成り立たなくても， $(AB)^n=A^nB^n$ が成立することは許される．それゆえ，非可換行列という理由のみで $(AB)^n=A^nB^n$ の成立を直ちに否定することは危険である．

・定義の証明

$\mathbb{N}=\{0,1,2,...,w,w+1,......\}$

$w=［ν］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.　 $A^ν:=A・A・\cdots\cdots・A$ 　　( $a$ 個)

(証明)

$n:=1$

$w:=2$

と置く．このとき

$A^w$

$=\mathbf{a}^2$

$=\mathbf{a}\mathbf{a}$ 　　(ベクトルの指数法則)

$=a_1a_1$ 　　(数の指数法則)

$a_1a_1=A^w$ も同様．▢