行列の二項定理　12項

$A,B：1つのn次正方行列$

$\mathbb{N}=\{0,1,2,...,t,t+1,......\}$ 　　( $tは自由変項$ )

$r=［ν］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.

$s=［µ］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.

とする．このとき

$(A+B)^ν=\displaystyle\sum_{µ=0}^ν\dbinom{ν}{µ}A^{ν-µ}B^µ$ 　s.t.　 $AB=BA$

が成立する．

(証明)

$ν:=1$

$µ:=1$

と置くと

$(A+B)^ν=A+B$

$\displaystyle\sum_{µ=0}^ν\dbinom{ν}{µ}A^{ν-µ}B^µ=\dbinom{1}{0}A^{1-0}B^0+\dbinom{1}{1}A^{1-1}B^1=A+B$

による．▢

　 $n:=1$ のとき数の性質，たとえば実数 $a,b$ に対して， $ab=ba$ が要求されるため，行列も $AB=BA$ が要請される．但し，such.that.の性質より，たとえ $AB=BA$ が成り立たなくても

$(A+B)^ν=\displaystyle\sum_{µ=0}^ν\dbinom{ν}{µ}A^{ν-µ}B^µ$

が成立する余地は残されている．

日記2