日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理1.13　20項

難波誠『(数学シリーズ)微分積分学』裳華房 2022年第17版 12刷

定理1.3　20項

　極限値 $\lim_{x→a}f(x)$ が存在すれば，関数 $f(x)$ は実数定数 $a$ の周りで有界である．すなわち

$w=［ε］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　( $∀ε∈\mathbb{R}^+$ )　①

$x=［δ］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　( $∃δ∈\mathbb{R}^+$ )　①

$y=［x］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.　( $∀x∈\mathbb{R}$ )　②

$0$ < $|x-a|$ < $δ$

$z=［M］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　( $∃M∈\mathbb{R}^+$ )　 ③

$⇒$ 　 $|f(x)|$ < $M$

と成る．但し，ここでの $M$ は $M:=|A|+ε$ である( $Aはf(x)の極限値$ )．

(証明)

$\displaystyle\lim_{x→a}f(x)=:A$

$ε:=1$

と置くと

$δ:=2a$

に対して

$x:=0$

$0$ < $|0-a|$ < $2a$ 　 $⇒$ 　 $|f(0)|-|A|=|f(0)-A|=|A-A|$ < $1$

☆　 $f(x)→A$ 　　( $∀x∈\mathbb{R}$ )

であるから

$|f(0)|-|A|$ < $ε$ 　i.e.　 $|f(0)|$ < $|A|+ε$ 　　

により

$M:=|A|+ε$ と置けばよい．▢

補足

$|f(x)|-|A|≤|f(x)-A|$ < $ε$ とはどういうことか？

$∵$

①　 $|f(x)|-|A|$ < $|f(x)-A|$ < $ε$

②　 $|f(x)|-|A|=|f(x)-A|$ < $ε$

何れにしても

$|f(x)|-|A|$ < $ε$

である．また，不等号 $≤$ に関する「または」の使用方法については

(1)　①のみ成立

(2)　②のみ成立

(3)　①と②の両方が成立

が考えられる．今回は②の等号成立のみを考えた．