定理1.6　ワイエルシュトラスの定理　6項

$S：1つの集合$

$S⊂\mathbb{R}$

とする．このとき， $S$ が上に有界なら，上界の中に最小の上界が存在する(下に有界なら，最大の下界が存在する)．

(証明)

　 $S$ が上に有界である．すなわち

$∃y［y∈\mathbb{R}∧y=b］$

$y=［M］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.　①第一列

$∀x［x∈\mathbb{R}→∀x［x∈\mathbb{R}→∃x［x∈\mathbb{R}∧x=a］］］$

$x=［a］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.　②第二列

$a≤M$

と表示できる，と仮定する．このとき， $y$ として実数全体 $\mathbb{R}$ の中から最小の $L$ を選びとり

$a=:L$ 　(実数全体の中で最小のものが少なくとも1個あればよい/場合によってなくてもよい)　( $\min L$ )

と置けば，∨-導入から

$a≤L$

と表される．したがって， $S$ が上界のとき，上界の中に最小の上界 $L$ が存在する．▢

　たとえば，実数の中で $1$ を最小の数と置けば( $y$ の選択)， $1$ より小さい( $≤$ )すべての実数に対して

$x≤1$ 　( $∀x∈\mathbb{R}$ )

を構成することができる．

　ここでは，矛盾許容論理を採用しているので，背理法や二重否定除去法(DN法)を使用することができない．

　この定理より，実数全体の集合は非可算無限集合であるとしても，ある区間で考えることができる．

日記2