日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理1.14　20項

難波誠『(数学シリーズ)微分積分学』裳華房 2022年第17版 12刷

定理1.14　20項

$x：個体変項(実数)$

$a：個体定項(正の実数)$

$f(x)：xの関数$

$A：f(x)の極限値(1つのA)$

とする．このとき

$f(x)→A$ 　( $x→a$ )

$⇔$

$x_n→a$ 　( $n→∞$ )， $x_n≠a$ である数列 $\{x_n\}$ に対し

$f(x_n)→A$ 　 $(n→∞)$

と成ることである．但し， $n$ とは

$r=［n］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.　( $∀n∈\mathbb{N}$ )

を意味する．

(証明)

( $⇒$ )

　 $f(x)$ が $A$ に収束する，と仮定する．まず

$\displaystyle\lim_{x→a}f(x)=:A$

と置く．

$s=［ε］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　( $∀ε∈\mathbb{R}^+$ )　　①

$t=［δ］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　( $∃δ∈\mathbb{R}^+$ )　　①

$u=［x］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.　( $∀x∈\mathbb{R}$ )　　②

$0$ < $|x-a|$ < $δ$ 　 $⇒$ 　 $|f(x)-A|$ < $ε$

$v=［N］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.　( $∃N∈\mathbb{N}$ )　　①

$r=［n］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.　( $∀n∈\mathbb{N}$ )　　②

$n≥N$ 　 $⇒$ 　 $|x_n-a|$ < $ε$

に対して

$n≥N$ 　 $⇒$ 　 $|x_n-A|$ < $ε$

を示す．

$ε:=1$

$N:=1$

について

$x:=0$

$n:=1$

と置けば $1≥1$ 　 $⇒$ 　 $|f(0)-A|=|A-A|=0$ < $1$

☆　 $x_n→a$ 　( $n→∞$ )， $f(x)→A$ 　( $x→a$ )，( $∀x∈\mathbb{R}$ )による

i.e.　 $n≥N$ 　 $⇒$ 　 $|f(x_n)-A|$ < $ε$

が成立する．

( $⇐$ )

$x_n→a$ 　( $n→∞$ )， $x_n≠a$

$f(x_n)→A$ 　( $n→∞$ )

を仮定する．

i.e.

$n≥N$ 　 $⇒$ 　 $|x_n-a|$ < $ε$ 　∧　 $|f(x_n)-A|$ < $ε$

に対して

$0$ < $|x-a|$ < $δ$ 　 $⇒$ 　 $|f(x)-A|$ < $ε$

を示す．

$ε:=1$

$N:=1$

$n:=1$

に対して

$x_1:=0$

$δ:=2a$

と置けば

$1≥1$ 　

$⇒$ 　

$|0-a|=|a-a|=0$ < $1$

∧　 $|f(0)-A|=|A-A|=0$ < $1$

☆　 $x_n→a$ 　( $n→∞$ )， $f(x_n)→A$ 　( $n→∞$ )による

であるから

$0$ < $|0-a|$ < $2a$ 　 $⇒$ 　 $|f(0)-A|=|A-A|=0$ < $1$

が成立する．すなわち

$0$ < $|x-a|$ < $δ$ 　 $⇒$ 　 $|f(x)-A|$ < $ε$

を得る．▢

補足

$0$ < $|x-a|$ < $δ$ について

$|-a|=-(-a)=a$ で $a$ < $2a$ となる $a$ は正の実数である．これより，数列及び関数の極限での $a$ は正の実数を扱う．