定理1.11 15項 のとき，，とする．このとき (ⅰ) () (ⅱ) () (ⅲ) () () (ⅳ) () (ⅴ) () () と成る． (証明) すべて同じ証明なので(ⅰ)のみを示す． s.t. () ① s.t. () ① s.t. () ② < < < を考える． に対して と置くと < < < ☆ () i.e. < < < であるから < i.e. <…

関数の意義 14項 関数 () について考える．このとき，が限りなくに近づくとも限りなくに近づく．このことを () あるいは で表す．一般に，を変数とする関数がではは定義されていても，されていなくてもよいが，実数の周りの以外のすべての点で定義されている…

定理1.10 コーシーの収束条件 12項 s.t. () とする．このとき が収束する s.t. () ① s.t. () ① < が成立する． (証明) () が収束すると仮定する．いま に対して < i.e. < と書けるので，これは定理の十分条件をみたす． () と置く．このとき s.t. () ① s.t. …

定理1.9の系 12項 有界な数列は収束する部分列(番号をとびとびにとった数列)を含む． (証明) を有界な数列とし と置く．このとき s.t. () ① s.t. () ② s.t. ()③ < < < より と成るなら は収束するの部分列である． したがって を得る．▢

定理1.9 ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理 11項 とする．このとき，の互いに異なる点から成る数列で，ある数に収束するものが存在する． (証明) 条件よりは有界であるので s.t. () ① s.t. () ② と表示できる．これに対して s.t. () ③ の場合を考えると …

例1.3 の定義について 10項 の極限値を考えたい． (考察) (定理1.4(ⅰ)) (定理1.5の系) (指数法則) である．▢

例1.2 9項 > i.e. () とする．このとき が成立する． (証明) に対して定理1.5の系から であり，指数法則より が成立する．▢

例1.1 8項 > i.e. s.t. () s.t. () とする．このとき，等比数列 は (ⅰ) < < (ⅱ) (ⅲ) > と成る． (証明) (ⅰ)について に対して と置けば定理1.5の系より ☆ を得る．☆に係る仮定はないので，∀-導入より(ⅰ)が示された． (ⅱ)について に対して () と置くと指数法…

これから s.t. という表記の上段を省略する．そのためにその根拠を述べたい． 自然演繹 とする．このとき 0,1 (1) 仮定 0,1 (2) 1.∨-導入 3 (3) 仮定 (4) 2-3.選言三段論法 (5) 4.二重∀-導入 である．但し，選言三段論法によって，すべての仮定が落ちるとい…

定理1.8 8項 () ② とする．このとき，が (あるいは) をみたし，上に有界(あるいは下に有界)なら，数列は収束する．そして，極限値は上限(あるいは下限)に等しい．また，上に有界でなければ(あるいは下に有界でなければ)(あるいは)に発散する． (証明) 上に有…

意義 数列を実数の集合と看做すとき，もしこのが上に有界なら，この数列は上に有界である，という．「上界」，「上限」，「下界」，「下限」，「有界」も同様に用いる． 定理1.7 収束する数列は有界である (証明) 数列が収束することを仮定する．たとえば と…

ワイエルシュトラスの定理 6項 とする．このとき，が上に有界なら，上界の中に最小の上界が存在する(下に有界なら，最大の下界が存在する)． (証明) が上に有界である．すなわち s.t. ①第一列 s.t. ②第二列 と表示できる，と仮定する．このとき，として実数…

意義 とする．このときが上に有界であるとは s.t. ①第一列 s.t. ②第二列 が成立することをいう．このをの上界とよぶ． また，が下に有界であるとは上に有界であることと同様にして が成り立つことをいう．このをの下界とよぶ．そして，上にも下にも有界のと…

定理1.5 5項 とする．このとき，実数列 はに収束する． (証明) アルキメデスの公理(公理Ⅰ)より s.t. s.t. < と成る．このとき s.t. < i.e. < である．したがって () i.e. を得る． 補足 < ( > , > ) s.t. < 系(オリジナル，-論法の練習) はに収束する．定理1…

定理1.4 5項 とする．このとき，数列が収束すれば次が成り立つ． (ⅰ) (証明) ，と置くと s.t. s.t. s.t. < 同様にして < と書ける．このとき に対してと置けば < < であるから を考えると，絶対値の性質(非退化)より i.e. i.e. である．これより < であるの…

定理1.3 4項 ：2つの実数列 とする．このとき が成立する． (証明) 1 (1) 前提 ∧-除去より s.t. s.t. s.t. < 同様にして < と書ける．このとき 2 (2) 仮定 に対してと置けば < < であるから を考えると，絶対値の性質(非退化)より i.e. i.e. である．したが…

定理1.2 4項 実数列が実数に収束するとする．このとき，他の数列が をみたすなら，もに収束する． (証明) 仮定 i.e. s.t. s.t. s.t. < とする．このとき に対して，と置きが をみたすとすれば < i.e. < i.e. である．▢

定理1.1 4項 実数列が収束するとき，その極限値は唯一である．換言すると，が実数にもにも限りなく近づけばである． (証明) 仮定 ∧-除去より s.t. s.t. s.t. < 同様にして ① s.t. ① s.t. ② s.t. < と表せる．このとき に対してと置くと < < である．ここで …

公理Ⅰ アルキメデスの公理 s.t. s.t. s.t. < が成立する．つまり，このような条件をみたす自然数が少なくとも1個存在する． 解説 s.t. ① 第一列 s.t. ① 同列 s.t. ② 第二列 < と解釈する．そうすれば，どんなに大きなと，どんなに小さなに対して < をみたす…

とする．このとき 「すべての日本人はすべて人間で，ある動物である．」 なぜなら すべての日本人はある動物である すべての日本人はすべて人間である からである． 選言三段論法による表示 ① すべての日本人はある動物である または すべての人間はある動物…