日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

アルキメデスとカントールの公理及び実数列の収束・発散の定義

難波誠『(数学シリーズ)微分積分学』裳華房 2022年第17版 12刷

公理Ⅰ　アルキメデスの公理

$∀x［x∈\mathbb{R}→∀x［x∈\mathbb{R}→∃x［x∈\mathbb{R}∧x=a］］］$

$∀y［y∈\mathbb{R}→∀y［y∈\mathbb{R}→∃y［y∈\mathbb{R}∧y=b］］］$

$x=［a］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.

$y=［b］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.

$∃z［z∈\mathbb{N}∧z=c］$

$z=［N］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.

$b$ < $Na$

が成立する．つまり，このような条件をみたす自然数 $N$ が少なくとも1個存在する．

解説

$x=［a］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.　①　第一列

$y=［b］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.　①　同列

$z=［N］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.　②　第二列

$b$ < $Na$

と解釈する．そうすれば，どんなに大きな $b$ と，どんなに小さな $a$ に対して

$b$ < $Na$

をみたすような $N$ が存在する，を(論理)式で表すことができる．

公理Ⅱ　カントールの公理

$a_1,a_2,...,a_n,...$

$b_1,b_2,...,b_n,...$ 　2つの実数列

とする．このとき

(ⅰ)　 $a_1≤a_2≤\cdots≤a_n≤\cdots \cdots ≤b_n≤\cdots ≤b_2≤b_1$

(ⅱ)　 $n$ が限りなく大きくなるとき $b_n-a_n$ は限りなく $0$ に近づく

但し，ここで $n$ とは

$∀x［x∈\mathbb{N}→∀x［x∈\mathbb{N}→∃x［x∈\mathbb{N}∧x=a］］］$

$x=［n］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.

をいう．(ⅰ),(ⅱ)をみたすなら，すべての $x∈\mathbb{N}$ に対して

$a_n≤c≤b_n$

をみたす実数 $c$ が唯一つ存在する．

i.e.

$∃z［z∈\mathbb{R}∧z=c］$

$z=［c］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.　 $a_n≤c≤b_n$

まとめ

$∀x［x∈\mathbb{N}→∀x［x∈\mathbb{N}→∃x［x∈\mathbb{N}∧x=a］］］$

$x=［n］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.　①第一列

(ⅰ)　 $a_1≤a_2≤\cdots≤a_n≤\cdots \cdots ≤b_n≤\cdots ≤b_2≤b_1$

(ⅱ)　 $n$ が限りなく大きくなるとき $b_n-a_n$ は限りなく $0$ に近づく

$∃z［z∈\mathbb{R}∧z=c］$

$z=［c］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.　②第二列

$a_n≤c≤b_n$

　以下，公理Ⅱの(ⅱ)の言葉を定義する．

定義　数列に関するコーシーの収束性の定義

(ア)　自然数 $n$ が限りなく大きくなるとき，実数列

(1.1)　 $a_1,a_2,...,a_n,...$

が実数 $a$ に限りなく近づく，あるいは， $a$ に収束するとは(但し $\mathbb{R}^+$ とは正の実数全体を表す)

$∀x［x∈\mathbb{R}^+→∀x［x∈\mathbb{R}^+→∃x［x∈\mathbb{R}^+∧x=a］］］$

$x=［ε］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.

$∃y［y∈\mathbb{N}∧y=b］$

$y=［N］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.

$∀z［z∈\mathbb{N}→∀z［z∈\mathbb{N}→∃x［x∈\mathbb{N}∧z=c］］］$

$z=［n］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.

$n≥N$ 　

$|a_n-a|$ < $ε$

が成立することをいう．このとき， $a$ を実数列(1.1)の極限値とよぶ．記号で

$a_n→a$ 　( $n→∞$ )

あるいは

$\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=a$

と表す．また，収束しない数列を数列は発散するという．

まとめ

$∀x［x∈\mathbb{R}^+→∀x［x∈\mathbb{R}^+→∃x［x∈\mathbb{R}^+∧x=a］］］$ ①第一列

$∃y［y∈\mathbb{N}∧y=b］$ 　①同列

$x=［ε］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　①

$y=［N］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.　①

$∀z［z∈\mathbb{N}→∀z［z∈\mathbb{N}→∃x［x∈\mathbb{N}∧z=c］］］$ ②第二列

$z=［n］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.　②

$n≥N$ 　②

$|a_n-a|$ < $ε$

(イ)　 $n$ が限りなく大きくなるとき，数列(1.1)が限りなく大きくなる，あるいは， $+∞$ に発散するとは

$∀x［x∈\mathbb{R}^+→∀x［x∈\mathbb{R}^+→∃x［x∈\mathbb{R}^+∧x=a］］］$

$x=［M］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.

$∃y［y∈\mathbb{N}∧y=b］$

$y=［N］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.

$∀z［z∈\mathbb{N}→∀z［z∈\mathbb{N}→∃x［x∈\mathbb{N}∧z=c］］］$

$z=［n］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.

$n≥N$

$a_n$ > $M$

が成り立つことをいう．このとき記号で

$a_n→+∞$ 　( $n→∞$ )

あるいは

$\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=∞$

と書く．また， $-∞$ に発散することも同様に定義され，記号で

$a_n→-∞$ 　(n→∞)

あるいは

$\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=-∞$

で表す．

まとめ

$∀x［x∈\mathbb{R}^+→∀x［x∈\mathbb{R}^+→∃x［x∈\mathbb{R}^+∧x=a］］］$ ①第一列

$∃y［y∈\mathbb{N}∧y=b］$ ①同列

$x=［M］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　①

$y=［N］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.　①

$∀z［z∈\mathbb{N}→∀z［z∈\mathbb{N}→∃x［x∈\mathbb{N}∧z=c］］］$ ②第二列

$z=［n］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.　②

$n≥N$ 　②

$a_n$ > $M$

☆　一般に実数列(1.1)を $\{a_n\}$ と略記することがある．