日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理1.1　4項

難波誠『(数学シリーズ)微分積分学』裳華房 2022年第17版 12刷

定理1.1　4項

　実数列 $\{a_n\}$ が収束するとき，その極限値は唯一である．換言すると， $\{a_n\}$ が実数 $a$ にも $b$ にも限りなく近づけば $a=b$ である．

(証明)

$\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=a∧\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=b$ 　仮定

∧-除去より

$∀x［x∈\mathbb{R}^+→∀x［x∈\mathbb{R}^+→∃x［x∈\mathbb{R}^+∧x=ε］］］$

$∃y［y∈\mathbb{N}∧y=N］$ 　

$x=［ε］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　

$y=［N］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.　

$∀z［z∈\mathbb{N}→∀z［z∈\mathbb{N}→∃x［x∈\mathbb{N}∧z=n］］］$

$z=［n］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.　

$n≥N　⇒$ 　

$|a_n-a|$ < $ε$

同様にして

①　 $x=［ε］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.

①　 $y=［N］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.

②　 $z=［n］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.

$n≥N　⇒$ 　

$|a_n-b|$ < $ε$

と表せる．このとき

$ε:=1$

$N:=1$

に対して $n:=1$ と置くと

$1≥1　⇒$

$|a_1-a|$ < $1$

$|a_1-b|$ < $1$

である．ここで

$|a_1-a|=0$

$|a_1-b|=0$

を考えれば，絶対値の性質(非退化)より

$a_1-a=0$

$a_1-b=0$

i.e.

$a_1=a$

$a_1=b$

であるから，同一性規則より

$a=b$

を得る．▢