日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理1.2　4項

難波誠『(数学シリーズ)微分積分学』裳華房 2022年第17版 12刷

定理1.2　4項

　実数列 $\{a_n\}$ が実数 $a$ に収束するとする．このとき，他の数列 $\{b_n\}$ が

$|b_n-a|≤|a_n-a|$

をみたすなら， $\{b_n\}$ も $a$ に収束する．

(証明)

$\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=a$ 　仮定

i.e.

$∀x［x∈\mathbb{R}^+→∀x［x∈\mathbb{R}^+→∃x［x∈\mathbb{R}^+∧x=ε］］］$

$∃y［y∈\mathbb{N}∧y=N］$ 　

$x=［ε］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　

$y=［N］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.　

$∀z［z∈\mathbb{N}→∀z［z∈\mathbb{N}→∃x［x∈\mathbb{N}∧z=n］］］$

$z=［n］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.　

$n≥N　⇒$ 　

$|a_n-a|$ < $ε$

とする．このとき

$ε:=1$

$N:=1$

に対して， $n:=1$ と置き $\{b_n\}$ が

$|b_n-a|≤|a_n-a|$

をみたすとすれば

$|b_1-a|≤|a_1-a|$ < $1$ 　i.e.　 $|b_1-a|$ < $1$ 　i.e.　 $\displaystyle\lim_{1→∞}b_1=a$

である．▢