日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理1.4　5項

難波誠『(数学シリーズ)微分積分学』裳華房 2022年第17版 12刷

定理1.4　5項

$\{a_n\},\{b_n\}：2つの実数列$

とする．このとき，数列が収束すれば次が成り立つ．

(ⅰ)　 $\displaystyle\lim_{n→∞}(a_n+b_n)=\lim_{n→∞}a_n+\lim_{n→∞}b_n$

(証明)

$α:=\displaystyle\lim_{n→∞}a_n$ ， $β:=\displaystyle\lim_{n→∞}b_n$ と置くと

$∀x［x∈\mathbb{R}^+→∀x［x∈\mathbb{R}^+→∃x［x∈\mathbb{R}^+∧x=a］］］$

$∃y［y∈\mathbb{N}∧y=b］$ 　

$x=［ε］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　

$y=［N］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.　

$∀z［z∈\mathbb{N}→∀z［z∈\mathbb{N}→∃x［x∈\mathbb{N}∧z=c］］］$

$z=［n］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.　

$n≥N　⇒　|a_n-a|$ < $ε$

同様にして

$n≥N　⇒　|b_n-b|$ < $ε$

と書ける．このとき

$ε:=1$

$N:=1$

に対して $n:=1$ と置けば

$1≥1　⇒$

$|a_1-a|$ < $1$

$|b_1-b|$ < $1$

であるから

$|a_1-a|=0$

$|b_1-b|=0$

を考えると，絶対値の性質(非退化)より

$a_1-a=0$ 　i.e.　 $a_1=a$

$b_1-b=0$ 　i.e.　 $b_1=b$

である．これより

$|(a_1+b_1)-(α+β)|=|(α+β)-(α+β)|=0$ < $1$

であるので，(ⅰ)が成立する．

(ⅱ)　 $\displaystyle\lim_{n→∞}(a_n-b_n)=\lim_{n→∞}a_n-\lim_{n→∞}b_n$

(証明)

　(ⅰ)と同様にして

$|(a_1-b_1)-(α-β)|=|(α-β)-(α-β)|=0$ < $1$

より(ⅱ)が成立する．

(ⅲ)　 $\displaystyle\lim_{n→∞}(ka_n)=k\lim_{n→∞}a_n$ 　但し，実数 $k$ は自由変項(定数)

(証明)

　(ⅰ)と同様にして

$(ka_n)-(kα)|=|kα-kα|=0$ < $1$

より(ⅲ)が成立する．

(ⅳ)　 $\displaystyle\lim_{n→∞}(a_n・b_n)=\lim_{n→∞}a_n・\lim_{n→∞}b_n$

(証明)

　(ⅰ)と同様にして

$|(a_nb_n)-(αβ)|=|αβ-αβ|=0$ < $1$

より(ⅳ)が成立する．

(ⅴ)　 $\displaystyle\lim_{n→∞}(a_n/b_n)=\displaystyle\frac{\displaystyle\lim_{n→∞}a_n}{\displaystyle\lim_{n→∞}b_n}$ 　但し， $b_n≠0, \displaystyle\lim_{n→∞}b_n≠0$

(証明)

　(ⅰ)と同様にして

$|(a_n/b_n)-(α/β)|=|α/β-α/β|=0$ < $1$

により成立する．

　以上より，定理は示された．▢