日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理1.9　ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理　11項

難波誠『(数学シリーズ)微分積分学』裳華房 2022年第17版 12刷

定理1.9　ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理　11項

$S⊂\mathbb{R}$

$S：有界無限集合$

とする．このとき， $S$ の互いに異なる点から成る数列 $\{a_n\}$ で，ある数に収束するものが存在する．

(証明)

　条件より $S$ は有界であるので

$y=［M］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.　( $∃M∈\mathbb{R}$ )　　①

$x=［a］_S$ 　s.t.　( $∀a∈S$ )　　②

$a≤M$ 　

と表示できる．これに対して

$z=［n］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.　 $n:=1$ 　　( $∀n∈\mathbb{N}$ )　　③

$a_1=M$

の場合を考えると

$s=［ε］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　 $ε:=1$ 　　( $∀ε∈\mathbb{R}^+$ )　　④

$t=［N］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.　 $N:=1$ 　 ( $∃N∈\mathbb{N}$ )　　④

について

$a_1-M=0$

であるから

$1≥1　⇒　|a_1-M|=0$ < $1$

が成立する．すなわち

$n≥N　⇒　|a_n-M|$ < $ε$

である．

　したがって

$\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=M$

を得る．▢