定理1.9の系　12項

　有界な数列は収束する部分列(番号をとびとびにとった数列)を含む．

(証明)

　 $\{r_n\}$ を有界な数列とし

$S:=\{r_n\}$

$S⊂\mathbb{R}$

と置く．このとき

$y=［M］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.　( $∃M∈\mathbb{R}$ )　　①

$x=［a］_S$ 　s.t.　( $∀a∈S$ )　　②

$a≤M$

$z=［n_1,n_2,...,n_m,......］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.　( $∀n_1,n_2,...,n_m,...∈\mathbb{N}$ )③

$n_1$ < $n_2$ < $\cdots n_m$ < $\cdots\cdots$

より

$a_1=a_2=\cdots=a_n=\cdots\cdots$

と成るなら

$a_{n_1}=M,a_{n_2}=M,\cdots,a_n=M,\cdots\cdots$

は収束する $S$ の部分列である．

　したがって

$\displaystyle\lim_{{n→∞},{m→∞}}a_{n_m}=M$

を得る．▢

日記2