日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理1.8　8項

難波誠『(数学シリーズ)微分積分学』裳華房 2022年第17版 12刷

定理1.8　8項

$\{a_n\}：実数列$ 　

$z=［n］_{\mathbb{N}}$ 　( $∀n∈\mathbb{N}$ )　②

とする．このとき， $\{a_n\}$ が

$a_1≤a_2≤\cdots≤a_n≤\cdots\cdots$

(あるいは $a_1≥a_2≥\cdots≥a_n≥\cdots\cdots$ )

をみたし，上に有界(あるいは下に有界)なら，数列は収束する．そして，極限値は上限(あるいは下限)に等しい．また，上に有界でなければ(あるいは下に有界でなければ) $+∞$ (あるいは $-∞$ )に発散する．

(証明)

上に有界，上に有界でないときを考える．数列についてその条件は

(1)　 $a_1≤a_2≤\cdots≤a_n≤\cdots\cdots$

(2)　上に有界(定理1.6より数列には上限が存在する)

である．このとき，数列の上限を $α$ と置くと

$a_n≤α$ 　(上限の性質)

と書ける．そして

$\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=α$

と成る．なぜなら

$x=［ε］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　( $∀ε∈\mathbb{R}^+$ )　①

$y=［N］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.　( $∃N∈\mathbb{N}$ )　①

$n≥N　⇒　|a_n-α|$ < $ε$

を示そう．①より

$ε:=1$

$N:=1$

に対して②から

$n:=1$

と置く．いま， $a_1=α$ のとき

$1≥1　⇒　|a_1-α|=0$ < $1$

が成り立つ．そして， $a_1=α$ 　i.e.　 $a_1≤α$ 　(∨-導入)

であるから

$\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=α$ 　( $a_n,α∈\mathbb{R}$ )

が成立するからである．

　また，数列が上に有界でなければ

$a_1≤a_2≤\cdots≤a_n≤\cdots\cdots$

であるから

$\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=+∞$

と成る．なぜなら

$x=［M］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　( $∀M∈\mathbb{R}^+$ )　①

$y=［N］_{\mathbb{N}}$ 　s.t.　( $∃N∈\mathbb{N}$ )　①

$n≥N　⇒　a_n$ > $M$

をいう．①より

$M:=a_{n-2}$

$N:=n-1$

に対して②から

$\cdots\cdots≥a_n≥a_{n-1}$ > $a_{n-2}$

i.e.

$\cdots\cdots≥a_n≥a_N$ > $M$

が構成されるからである．尤もこれは

$a_1≤a_2≤\cdots≤a_n≤\cdots\cdots$

という順序による．

　したがって，数列は $+∞$ に発散する．以上より定理が示された．▢