とする．このとき は成立するか？ (証明の方針) i.e. を試行する．もし，記号の一切の中身を問うことをしなければ，この判断も真と成る． 1 (1) 前提 1 (2) 1. ∀-除去 3 (3) 仮定 1 (4) 2-3. →-導入 1 (5) 1,4. ∀-導入 この場合，(4)で記号の中身を問う必要…

とする．このとき は不成立である． (証明の方針) の要素(3の倍数)がすべて(6の倍数)に属するわけではない，ということを示したい．自然演繹ではどの段階で，この「属するわけではない」が言えるのかをたしかめる． 1 (1) 前提 1 (2) 1. ∀-除去 ここで，たと…

とする．このとき が成立する． (証明の方針) 一階述語論理でがに包まれることを示したい．そのために を示す．すなわち すべての自然数に対して をいう．すなわち を示したい． 自然演繹 1 (1) 前提 1 (2) 1. ∀-除去 3 (3) 仮定 1,3 (4) 2,3. →-除去 1 (5) …

とする．このときを示す方法には次の3個がある． (1) i.e. (2) が成立しているとき，たとえばが成り立ち，これに∨-導入を適用した場合．すなわち i.e. i.e. (選言三段論法) (3) i.e. i.e. (∧-除去) i.e. (選言三段論法) しかし，(2)と(3)は通用しない場合が…

包含関係 はを表す． はを表す． このとき，三者択一の法則とは のうち1個のみが成立する，ことをいう． 等号関係 とする．このとき とはが成り立つことをいう． の意味 とはである．ここで三者択一の法則から選言は排他的選言(強選言)である．実際 (1) 仮定…

例 とする．このとき すべての人間はある動物である i.e. が成立する．ここで，この記号を以下のように分解する． s.t. () s.t. () i.e. してみると，全称量化子と存在量化子の違いがないことに気が付く．そこで，両者の記号を廃止する．すなわち s.t. s.t. …

s.t. s.t. に対して s.t. が唯一つ成立するとき，はの像といい あるいは あるいは と書く．

実数以下では，三者択一の法則が適用される．このとき等号と不等号を考えると かつ より の場合 < かつ > より の場合 がある．さらに < かつ より > の場合> かつ より < の場合 ということもある．すなわち，不等号のやに関する「または」のうち両方が成立…

私は以前から，1個と1つは違う観念であり，1個という数え方は計量数を指し，1つという数え方は順序数である，と言ってきた．今回，関数の極限値は唯一つである，という場合に極限値を順序数で数えるとはどういうことなのかを考えたい． 例 正弦関数のとき に…

これから s.t. という表記の上段を省略する．そのためにその根拠を述べたい． 自然演繹 とする．このとき 0,1 (1) 仮定 0,1 (2) 1.∨-導入 3 (3) 仮定 (4) 2-3.選言三段論法 (5) 4.二重∀-導入 である．但し，選言三段論法によって，すべての仮定が落ちるとい…

とする．このとき 「すべての日本人はすべて人間で，ある動物である．」 なぜなら すべての日本人はある動物である すべての日本人はすべて人間である からである． 選言三段論法による表示 ① すべての日本人はある動物である または すべての人間はある動物…

自然数個についての区分 を1つの集合とする．このとき に関して ① s.t. ② s.t. で区分するとき i.e. i.e. をどのように分けるべきだろうか？ ③ s.t. ④ というようにsuch.that.であるかないかの違いをつける．

を示す． 1 (1) 仮定 1 (2) 1.∨-導入 3 (3) 仮定 (4) 2,3.三段論法 ここで1,3の仮定落とし (5) 1-4.→-導入 仮定1の仮定落とし 1 (1) 仮定 1 (2) 1.∨-導入 3 (3) 仮定 (4) 2,3.三段論法 ここで1,3の仮定落とし (5) 1-4.→-導入

伝統的論理学の全称判断 全称肯定判断SaPについて，たとえば すべての人間は動物である を挙げられる． 一階述語論理 論理式について，たとえば すべての人間は動物である を挙げられる． 二階述語論理 論理式 (∀-除去) s.t. について，たとえば すべての人…

変数 (∀-除去) s.t. ． 但し， メタ視点： 記号の意味としては である．または述語の集まりだが，これをクラスといい，単純なクラスは集合と考えてよい．なぜなら，単純なクラスもまた，ものの集まりであるからである．そして，「s.t.」ということは，いくら…

三者択一の法則 実数体の性質として，三者択一の法則は認められるが，しかし，これが複素数体のときや，より一般の順序集合で認められるのかは，まだわからないので便宜的に実数の性質ということにする．さて，三者択一の法則とは (∀-除去) s.t. < > の何れ…

すなわち (∀-除去) s.t. とする．このとき，このような不等号の関係は < に帰結する，ことを示す． (証明) 1 (1) 仮定 i.e. < 2 (2) < 仮定 i.e. 2 (3) 2.∧-除去 1,2 (4) < 1,3.三段論法 (5) < 1-4.∨-除去 (6) < 5.∀-導入 もしも，(2)でを仮定すると，∨-導入…

判断の類型 を1つの集合とする． ①全称肯定判断 例 すべての人間はある動物である ②全称否定判断 例 すべての人間はすべて植物でない ③特称肯定判断 例 ある人間はある動物である ④特称否定判断 例 ある人間はすべて植物でない ☆ については概念の内包，は概…