日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

抽象化(形式化)の限界

論理

$\mathbb{N}：自然数全体の集合$

$\mathbb{Z}：整数全体の集合$

$x,y,z,......：1つの束縛変数$

$a,b,c,......：1つの自由変数$

とする．このとき

$\mathbb{Z}⊂\mathbb{N}$

は成立するか？

(証明の方針)

$∀x∈\mathbb{Z}$ 　 $x∈\mathbb{Z}　⇒　x∈\mathbb{N}$

i.e.

$∀x［x∈\mathbb{Z}］ \vdash ∀x［x∈\mathbb{Z}→x∈\mathbb{N}］］$

を試行する．もし，記号の一切の中身を問うことをしなければ，この判断も真と成る．

1　(1)　 $∀x［x∈\mathbb{Z}］$ 　前提

1　(2)　 $a∈\mathbb{Z}$ 　1. ∀-除去

3　(3)　 $a∈\mathbb{N}$ 　仮定

1　(4)　 $a∈\mathbb{Z}→a∈\mathbb{N}$ 　2-3. →-導入

1　(5)　 $∀x［x∈\mathbb{Z}→x∈\mathbb{N}］$ 　1,4. ∀-導入

　この場合，(4)で記号の中身を問う必要があることがわかる(ここで意味論的に実証する)．たとえば $-1∈\mathbb{Z}$ に対して， $￢(-1∈\mathbb{N})$ であるから，(4)の判断は偽である．したがって，(1)から(5)を導出することはできない．

(証明)

　前提

$∀x［x∈\mathbb{Z}］$

に対して，∀-除去を適用する．このとき $a∈\mathbb{Z}$ であり， $a∈\mathbb{N}$ を仮定すると，→-導入により形式的に

$a∈\mathbb{Z}→a∈\mathbb{N}$ 　☆

と書くことができる．しかし，この判断は偽であるので，命題は不成立である．▢

まとめ

　論理学の目的は，判断を記号化することである．しかし，それには限度があって，たとえば，この部分集合の例のように(4)で，どうしても記号の意味を問う必要が出てくる．判断が偽であることを示すことは，比較的容易であるが

$∀x［x∈\mathbb{N}］ \vdash ∀x［x∈\mathbb{N}→x∈\mathbb{Z}］］$ 　①

の場合に(4)の実質をどのように記述すべきだろうか．すべての自然数は整数に属することは直観でわかっている，というように，直観でわかっているものしか，思考できないのだろうか．①の(4)について考えてみたい．

1　(1)　 $∀x［x∈\mathbb{N}］$ 　前提

1　(2)　 $a∈\mathbb{N}$ 　1. ∀-除去

3　(3)　 $a∈\mathbb{Z}$ 　仮定

1　(4)　 $a∈\mathbb{N}→a∈\mathbb{Z}$ 　2-3. →-導入

1　(5)　 $∀x［x∈\mathbb{Z}→x∈\mathbb{N}］$ 　1,4. ∀-導入

　このような(4)の場合に(4)が偽であると仮定して(後件否定)みよう．これも証明の方針で書くべきことだと判断した．

1　(1)　 $a∈\mathbb{N}→￢(a∈\mathbb{Z})$ 　

i.e.　 $￢(a∈\mathbb{N}→a∈\mathbb{Z})$ 　仮定

1　(2)　 $￢(a∈\mathbb{Z})$ 　→-除去

1　(3)　 $\perp$ 　￢-除去

　 (4)　 $￢￢(a∈\mathbb{N}→a∈\mathbb{Z})$ 　￢-導入

　 (5)　 $a∈\mathbb{N}→a∈\mathbb{Z}$ 　DN規則

　これで確かに部分集合成立の命題は示された．▢

まとめ

　直観でわかることの記号化に成功した．