日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

不等式に関する値の範囲

東京書籍『NEW ACTION FRONTIER 数学Ⅰ+ A』 2022

問　 $-2$ < $x$ < $4$ ， $-4$ < $y$ < $-3$ のとき，次の式の値の範囲を求めよ．

(ア)　 $-2x+1$

(イ)　 $2x-3y$

(解答)

$x,y,z,......：1つの束縛変数$

$a,b,c,......：1つの自由変数$

とする．

(ア)について

$∃x［x∈\mathbb{R}∧［-2$ < $x∧x$ < $4 ］］$

$\vdash ∃x［x∈\mathbb{R}∧［-7$ < $-2x+1∧-2x+1$ < $5］］$

1　(1)　 $∃x［x∈\mathbb{R}∧［-2$ < $x∧x$ < $4 ］］$ 　前提

2　(2)　 $-2$ < $a∧a$ < $4$ 　仮定

2　(3)　 $-2$ < $a$ 　2. ∧-除去

$4$ > $-2a$

$5$ > $-2a+1$

2　(4)　 $a$ < $4$ 　2. ∧-除去

$-2a$ > $-8$

$-2a+1$ > $7$

2　(5)　 $-7$ < $-2a+1∧-2a+1$ < $5$ 　3,4. ∧-導入

2　(6)　 $∃x［x∈\mathbb{R}∧［-7$ < $-2x+1∧-2x+1$ < $5］］$

5. ∃-導入

1　(7)　 $∃x［x∈\mathbb{R}∧［-7$ < $-2x+1∧-2x+1$ < $5］］$

1,2-6. ∃-除去

(イ)について

$∃x∃y［［x∈\mathbb{R}∧y∈\mathbb{R}］$

$∧［［-2$ < $x∧x$ < $4 ］∧［-4$ < $y$ < $-3］］］$

$\vdash ∃x∃y［［x∈\mathbb{R}∧y∈\mathbb{R}］∧［5$ < $2x-3y∧2x-3y$ < $20 ］］$

1　(1)　 $∃x∃y［［x∈\mathbb{R}∧y∈\mathbb{R}］$

$∧［［-2$ < $x∧x$ < $4 ］∧［-4$ < $y$ < $-3］］］$ 　前提

2　(2)　 $［-2$ < $a∧a$ < $4］∧［-4$ < $b∧b$ < $-3］$ 　仮定

2　(3)　 $-2$ < $a∧a$ < $4］$ 　2. ∧-除去

2　(4)　 $-2$ < $a$ 　3. ∧-除去

$-4$ < $2a$

2　(5)　 $a$ < $4$ 　3. ∧-除去

$2a$ < $8$

2　(6)　 $-4$ < $b∧b$ < $-3$ 　2. ∧-除去

2　(7)　 $-4$ < $b$ 　6. ∧-除去

$12$ > $-3b$

2　(8)　 $b$ < $-3$ 　6. ∧-除去

$-3b$ > $9$

2　(9)　 $-4$ < $2a∧ 2a$ < $8$ 　4,5. ∧-導入

2　(10)　 $9$ < $-3b∧-3b$ < $12$ 　7,8. ∧-導入

2　(11)　 $［-4$ < $2a∧ 2a$ < $8］∧［9$ < $-3b∧-3b$ < $12］$

9,10. ∧-導入　 $5$ < $2a-3b∧2a-3b$ < $20$

2　(12)　 $∃x∃y［［x∈\mathbb{R}∧y∈\mathbb{R}］$

$∧［5$ < $2x-3y∧2x-3y$ < $20 ］］$ 　11. ∃-導入

1　(13)　 $∃x∃y［［x∈\mathbb{R}∧y∈\mathbb{R}］$

$∧［5$ < $2x-3y∧2x-3y$ < $20 ］］$ 　1,2-12. ∃-除去