日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

連立一次不等式の整数解の個数　65項

東京書籍『NEW ACTION FRONTIER 数学Ⅰ+ A』 2022

$x,y,z,......：1つの束縛変数(実数)$

$a,b,c,...,α,β,γ,......：1つの自由変数(整数)$

とする．このとき

$2(3x-4)-1$ > $-3(2x+11)$

$4x+2a$ < $3x+2$

をともにみたす $x∈\mathbb{Z}$ がちょうど3個となるような $a$ の値の範囲を求めよ．

(解答の方針)

　まず，一次不等式の整数解 $x$ について解く．

$∃x=［α,β,γ］_{\mathbb{Z}}$ 　s.t.

$∃x［x∈\mathbb{Z}∧［2(3x-4)-1$ > $-3(2x+11)$

$∧4x+2a$ < $3x+2］］$

$\vdash ∃x［x∈\mathbb{Z}∧［-2$ < $x∧x$ < $2-2a］］$

代表として，自由変数 $α$ で考える．

1　(1)　

$∃x［x∈\mathbb{Z}∧［2(3x-4)-1$ > $-3(2x+11)$

$∧4x+2a$ < $3x+2］］$ 　前提

2　(2)　 $2(3α-4)-1$ > $-3(2α+11)∧4α+2a$ < $3α+2$ 　仮定

2　(3)　 $2(3α-4)-1$ > $-3(2α+11)$ 　2. ∧-除去

i.e.　 $6α-8-1$ > $-6α-33$

i.e.　 $12α$ > $-24$ 　i.e.　 $α$ > $-2$

2　(4)　 $4α+2a$ < $3α+2$ 　2. ∧-除去

i.e.　 $α$ < $2-2a$

2　(5)　 $-2$ < $α∧α$ < $2-2a$ 　3,4. ∧-導入

2　(6)　 $∃x［x∈\mathbb{Z}∧［-2$ < $x∧x$ < $2-2a］］$ 　5. ∃-導入

1　(7)　 $∃x［x∈\mathbb{Z}∧［-2$ < $x∧x$ < $2-2a］］$ 　1,2-6. ∃-除去

　これより， $-2$ より大きい整数は， $-1$ 以上で $2-2a$ 未満だということがわかるので

$α:=-1，β:=0，γ:=1$

と置くと

$1$ < $2-2a$ 　☆

がわかる．

　次に， $a$ の値の範囲を求めたい．☆を $a$ について解くと

$a$ < $\displaystyle\frac{1}{2}$ 　①

である．問題は $2-2a$ が $2$ より大きいか小さいかあるいは等しいか，である．いま， $2-2a$ は $1$ より大きいことが保証されているので

$2-2a$ > $2$ 　i.e.　 $a$ < $0$

ということはない．したがって

$2-2a$ < $2$ 　∨　 $2-2a=2$

を考える．実際

(ア)　 $2-2a$ < $2$ 　i.e.　 $a$ > $0$ 　②

(イ)　 $2-2a=2$ 　i.e.　 $a=0$ 　③

であるから

$2-2a≤2$

がわかる．

　以上①,②,③より求める $a$ の値の範囲は

$0≤a$ < $\displaystyle\frac{1}{2}$

である．