日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

単項式の乗法

東京書籍『NEW ACTION FRONTIER 数学Ⅰ+ A』 2022

単項式の乗法

$α,β,γ,......：1つの束縛変数$

$a,b,c,...,x,y,z,......：1つの自由変数$

とする．このとき次の式を計算せよ．

(解答)

(1)　 $a^2×(a^3)^2×(a^2)^3=a^2×a^6×a^6=a^{2+6+6}=a^{14}.$

(2)　 $(3a)^2×(2a^4)^3=9a^2×8a^{12}=72a^{2+12}=72a^{14}.$

(3)　 $((-a^2)^3)^4=(-a^6)^4=a^{24}.$

(4)　 $64x^2y^4×((-1/2)xy^2)^3=64x^2y^4×(-1/8)x^3y^6=-8x^5y^{10}.$

指数の定義

$\mathbb{Z}^+=\{1,2,...,n,n+1,......\}$ 　　(正整数)

$α=［m］_{\mathbb{Z}^+}$ 　　(与えられた正整数)

$β=［a］_{\mathbb{R}}$ 　　(与えられた実数)

とする．このとき

$a^m:=a×a×\cdots\cdots×a　(m個の積)$

と定め，この $a^m$ を $a$ の指数 $m$ という．

☆　注意

　「s.t.」が入らないときは，「与えられた数」と表示する．

指数法則(定理)

$\mathbb{Z}^+=\{1,2,...,n,n+1,......\}$ 　　(正整数)

$α=［m,n］_{\mathbb{Z}^+}$ 　　(与えられた正整数)

$β=［a,b］_{\mathbb{R}}$ 　　(与えられた実数)

とする．このとき

(ア)　 $a^m×a^n=a^{m+n}$

(イ)　 $(a^m)^n=a^{mn}$

(ウ)　 $(ab)^n=a^nb^n$

が成立する．

与えられた数とは何か？

　いま

$a：与えられた実数(自由変数)$

$m,n：与えられた正整数(自由変数)$

がある．このとき「与えられた」数とは計量数が無限個(可算・非可算を問わない)で，順序数が附けられたものをいう．

例　

①　 $α=［m,n］_{\mathbb{Z}^+}$

$m$ は1番目， $n$ は2番目である．すなわち

$m：1番目の1,2,3,......のうちのどれか$

$n：2番目の1,2,3,......のうちのどれか$

②　 $β=［a,b］_{\mathbb{R}}$

$a：1番目の実数$

$b：2番目の実数$

☆　注意

　実数 $a$ の中身は問わない(わからない)．

指数法則に関して無限濃度の可算・非可算を問わないことについて

　 $m$ は1番目の正整数， $a$ は1番目の実数である．この意味で，両者は記号の中身を問わず，順序に従う数として同一である．そしてこれが，与えられた数の意味である．

正整数は有限個か？

$\mathbb{Z}^+=\{1,2,...,n,n+1,......\}$

に対して

$k=［n］_{\mathbb{Z}^+}$

を考える．このとき， $k$ の計量数は無限個であるが，順序数で $n$ 番目という意味である． $k$ に関して，計量数に注目すれば無限個，順序数に注目すれば有限個である，といえる．

定理の証明

(証明)

(ア)について

　指数の定義より

$a^m:=a×a×\cdots\cdots ×a$ 　　( $m$ 個の積)

$a^n:=a×a×\cdots\cdots ×a$ 　　( $n$ 個の積)

に対して

$a^m×a^n$

$=(a×\cdots×a)×(a×\cdots ×a)$

$=(m個のa)+(n個のa)$

$=m+n個のa$

$=a×a×\cdots\cdots ×a$ 　　( $m+n$ 個の積)

$=a^{m+n}$

が成立する．

(イ)について

　自由変数 $x$ に対して

$x:=a^m$

と置く．このとき，指数の定義から

$x^n=x×x×\cdots\cdots ×x$ 　　( $n個の積$ )

$=a^m×a^m×\cdots\cdots a^m$ 　　( $n個の積$ )

$=(a×\cdots ×a)×(a×\cdots ×a)×\cdots\cdots ×(a×\cdots ×a)$

$=(m個のa)×\cdots ×(m個のa)$ 　　(全体として $n$ 個の積)

ここで

$m+m:=2m$

より $n$ 個の積は

$m+m+\cdots\cdots +m=nm$

であるから

$=nm個のa$

$=a×\cdots ×a$ 　　( $nm$ 個の積)

である．また，正整数 $m,n$ は可換 $nm=mn$ であるので

$=a×\cdots ×a$ 　　( $mn$ 個の積)

$=a^{mn}$

を得る．したがって

$x^n=a^{mn}$ 　i.e.　 $(a^m)^n=a^{mn}$

が成立する．

(ウ)について

　自由変数 $x$ に対して

$x:=ab$

と置く．このとき，指数の定義より

$x^n=x×\cdots ×x$ 　　( $n$ 個の積)

$=ab×\cdots ×ab$ 　　( $n$ 個の積)

である．いま

$x×x=x^2=ab×ab=a×b×a×b=a×a×b×b=a^2×b^2$ 　　(指数の定義)

であるから

$=(a×\cdots ×a)×(b×\cdots ×b)$

$=(n個のa)×(n個のb)$

$=a^n×b^n$

である．したがって

$x^n=a^nb^n.$ 　i.e.　 $(ab)^n=a^nb^n$

を得る．▢