日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

第1章　微分法　第1節　極限値　1.　極限

実数で考えるが，自由変項を扱う実関数を写像と呼ぶことにする．
ここでは，関数(束縛変項)ではなく，写像(自由変項)で考える．
自由変項 $x$ が自由変項 $a$ 以外の値をとりながら， $a$ に限りなく近づくとき，写像 $f(x)$ の値が一定の値 $b$ に限りなく近づくなら， $x$ が $a$ に近づくときの $f(x)$ の極限値は $b$ である，といい
$\displaystyle\lim_{x→a} f(x)=b$ 　乃至(強選言)　 $f(x)→b$ 　( $x→a$ )
で表す．
例1　 $f(x):=\displaystyle\frac{x^2-a^2}{x-a}$ の極限値について

$a∈\mathbb{R}$ 　　　⓪　与えられた自由変項

$ε∈\mathbb{R}^+$ 　 ①

$δ∈\mathbb{R}^+$ 　s.t.　①

$x∈\mathbb{R}$ 　s,t,　②

$b∈\mathbb{R}$ 　s.t.　③

s.t.　 $0$ < $|x-a|$ < $δ$ 　 $⇒$ 　 $|f(x)-b|$ < $ε$

を示す．

・補足

　左側極限については， $x$ < $a$ となるような $0$ < $x-a$ < $δ$ が必ず存在するとは限らない，と考えたこともあったが，これは存在充足性(such.that.)の性質により，そのような条件をみたすものが1個でもあればよいと考えられるため，左側極限も観ることができる．

$0$ < $|x-a|$ < $δ$

を仮定する．このとき

$δ:=2a$

$x:=2a$

と置けば

$|f(x)-b|$

$=|(x^2-a^2)/(x-a)|$

$=|（(x-a)(x+a)）/（x-a）|$

$=|x+a-b|$

$=|2a+a-b|$

$=|3a-b|$

$b:=3a$

$=|3a-b|$ < $ε$

を得る．したがって

$\displaystyle\lim_{x→a}\displaystyle\frac{x^2-a^2}{x-a}=3a$

である．▢