日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理2.13　テイラーの定理　58項

難波誠『(数学シリーズ)微分積分学』裳華房 2022年第17版 12刷

定理2.13　テイラーの定理　58項

　関数 $f(x)$ は区間 $a,b$ ( $a,b$ は自由変項)で $C^{n-1}$ -関数であり，区間 $a,b$ で $n$ 回微分可能とする．但し， $n$ とは

$\mathbb{Z}^+=\{1,2,...,n,n+1,......\}$

$k=［n］_{\mathbb{Z}^+}$ 　s.t.

をいう．このとき

$f(b)=f(a)+\displaystyle\frac{f'(a)}{1!}(b-a)+\displaystyle\frac{f''(a)}{2!}(b-a)^2+\cdots\cdots$

$+\displaystyle\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(b-a)^{n-1}+\displaystyle\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(b-a)^n$

をみたす $c$ ( $a$ < $c$ < $b$ )が存在する( $b$ < $a$ でも成立)．すなわち $f'(a)=0,f''(a)=0,......,f^{(n-1)}(a)=0,f^{(n)}(a)=0$ より

$f(b)=f(a)$

である．

(証明)

$x=［a_1,...,a_m］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.　 $m:=1,2$

$y=［b_1,...,b_n］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.　 $n:=1,2$

に対して関数 $f(x)=y$ は

$f(a_1)=b_1,　f(a_2)=b_2$

で表される．このとき

$f'(a_1)=0$

である．同様にして

$f'(a_2)=0$

と成る．したがって

$f(a_2)=f(a_1)$

である．これを区間 $a,b$ で表せば

$f(b)=f(a)$

が得られる．▢