日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理2.7　ロルの定理　54項

難波誠『(数学シリーズ)微分積分学』裳華房 2022年第17版 12刷

定理2.7　ロルの定理　54項

$f(x)：xの関数$

$［a_1,a_2］：閉区間(a_1,a_2は自由変項)$

$(a_1,a_2)：開区間$

とする．このとき， $f(x)$ が(開閉どちらでも)区間で連続，(開閉どちらでも)区間で微分可能なとき $f'(a_3)=0$ となる $a_3$ ( $a_1$ < $a_3$ < $a_2$ )が存在する．

(準備)

関数 $f(x)=y$ について

$\mathbb{Z}^+=\{1,2,...,n,n+1,......\}$

$k=［n］_{\mathbb{Z}^+}$ 　s.t.　 $n:=1,2,3$

$x=［a_1,...,a_n］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.

$y=［b_1,...,b_n］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.

$f(x)=y$ 　i.e.　 $f(a_1)=b_1,f(a_2)=b_2,f(a_3)=b_3$

とする．

閉区間について

$［a_1,a_2］:=\{x|a_1≤x≤a_2\}$

$a_1≤x≤a_2$ 　i.e.　 $a_1$ < $x$ < $a_2$ 　選言三段論法

開区間について

$(a_1,a_2):=\{x|a_1$ < $x$ < $a_2\}$

$a_1$ < $x$ < $a_2$ 　i.e.　 $a_1≤x≤a_2$ 　∨-導入

(証明)

　条件より関数 $f(x)$ は

$f(a_1)=b_1,　f(a_2)=b_2,　f(a_3)=b_3$

$s=［a_3］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.　 $a_1$ < $a_3$ < $a_2$

で連続・微分可能である．とくに $f(a_3)=b_3$ に対して，仮定から $f(x)$ は(開)区間で微分可能であるから， $f'(a_3)=0$ を得る．したがって

関数 $f(x)$ が区間で連続・微分可能なとき

$w=［a_3］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.　 $a_1$ < $a_3$ < $a_2$ 　s.t.　 $f'(a_3)=0$

が成立する．▢

補足

$w=［a_3］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.　 $a_1$ < $a_3$ < $a_2$ 　s.t.　 $f'(a_3)=0$

の意味は，このような条件をみたす $a_3$ が1個でもあればよい，ということである．これを確かめるには， $f'(a_3)=0$ となる $a_3$ が少なくとも1個， $a_1$ < $a_3$ < $a_2$ となる $a_3$ が少なくとも1個あることがわかればよい．