日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理2.6　逆関数の微分法　48項

難波誠『(数学シリーズ)微分積分学』裳華房 2022年第17版 12刷

定理2.6　逆関数の微分法　48項

$f(x)=y：xの関数$

とする．このとき $f(x)$ が(閉または開)区間で単調で微分可能なら，その逆関数 $f^{-1}(y)=x$ は $f'(x)≠0$ となる $y$ で微分可能で

$(f^{-1})'(y)=\displaystyle\frac{1}{f'(x)}$

と書ける．

(証明)

$\mathbb{Z}^+=\{1,2,...,n,n+1,......\}$

$k=［n］_{\mathbb{Z}^+}$ 　s.t.　　①

$x=［a_1,...,a_n］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　　②

$y=［b_1,...,b_n］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　　③

$f(x)=y$

に対して $n:=1$ と置く．条件より $f(x)$ を微分すると

$f'(a_1)=b_1$ 　i.e.　 $f'(a_1)=0$

である．とくに

$f'(a_1)=0$ 　i.e.　 $f'(x)=y'$ 　　(量化)

と書ける．一方， $f$ の逆関数 $f^{-1}$ を微分すると

$(f^{-1})'(b_1)=0$ 　i.e.　 $(f^{-1})'(y)=x'$

であるから

$(f^{-1})'(b_1)=f'(a_1)=0$

である．したがって

$(f^{-1})'(y)=\displaystyle\frac{1}{f'(x)}=x'=\displaystyle\frac{1}{y'}$

を構成することができる．▢

補足

　逆関数が微分可能であることを確かめる必要がある，と思われるかも知れないが，しかし，関数 $f(x)=y$ を $n:=1$ の場合で微分すると，その値域は必ず $0$ であるから，定義域を無視して導関数を構成することができる，と考える．

$x'=\displaystyle\frac{1}{y'}$ 　i.e.　 $y'=\displaystyle\frac{1}{x'}$
補足

　値域が定まっていれば始域の形態は如何を問わない．それが関数(写像)の唯一性である．

例　微分可能な関数とその逆関数

　微分可能な関数 $f'(x)=y'$ に対して，微分可能であるか調べていない逆関数 $f^{-1}$ が存在するとき，もし $f'(a_1)=(f^{-1})'(b_1)=0$ が成立するなら，そのような逆関数は微分可能である，と考えてよい．但し

$f'(a_1)=b_1$ 　i.e.　 $f'(a_1)=0$

$(f^{-1})'(b_1)=c_1$ 　i.e.　 $(f^{-1})'(0)=0$ 　　( $c_1$ は自由変項)

あるいは

$(f^{-1})'(d_1)=c_1$ 　i.e.　 $(f^{-1})'(d_1)=0$ 　　( $d_1$ は自由変項)

である．つまり，前提条件として微分可能であるかないか，は問われない． $=0$ となる(定数)関数は常に微分可能である．今度，この「=0となる関数は微分可能である」を証明してみたい．