日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理2.5　合成関数の微分法　47項

難波誠『(数学シリーズ)微分積分学』裳華房 2022年第17版 12刷

定理2.5　合成関数の微分法　47項

$f(x)=y,g(x)=z：1つの微分可能な関数$

とする．このとき $f,g$ の合成関数

$g\circ f(x):=g(f(x))=z$

は微分可能で

$(g\circ f)(x)=g'(f(x))f'(x)$

と表される．

(証明)

$\mathbb{Z}^+=\{1,2,...,n,n+1,......\}$

$k=［n］_{\mathbb{Z}^+}$ 　s.t.　　①

$x=［a_1,...,a_n］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　　②

$y=［b_1,...,b_n］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　　③

$z=［c_1,...,c_n］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　　 ④

$f(x)=y,g(x)=z$

に対して $n:=1$ と置く．このとき，条件から関数は微分可能であるから

$f'(a_1)=b_1$ 　i.e.　 $f'(a_1)=0$

$g'(b_1)=c_1$ 　i.e.　 $g'(0)=0$

である．そして，合成関数

$g\circ f(a_1)=g(f(a_1))=c_1$

について，その微分は

$(g\circ f)'(a_1)=0$

$g'(f(a_1))=g'(b_1)=g'(0)=0$ 　

であるから

$(g \circ f)'(a_1)=g'(f(a_1))f'(a_1)=0$

i.e.　 $(g\circ f)'(x)=g'(f(x))f'(x)=w$ 　　( $wは束縛変項$ )

を構成することができる．▢