日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理2.1の系　43項

難波誠『(数学シリーズ)微分積分学』裳華房 2022年第17版 12刷

定理2.1の系　43項

　関数 $f(x)=y$ が点 $x=a$ で微分可能なら，関数は $x=a$ で連続である．

(証明)

　関数 $f(x):=0$ が $0=a$ で微分可能である，と仮定すると

$f'(a)=\displaystyle\lim_{0→a}\displaystyle\frac{f(0)-f(a)}{0-a}=0$ 　　( $x:=0$ )

が $0=a$ で存在する．

補足

$f'(a)=0$ 　i.e.　 $f'(a)=a$ 　　( $a=0$ )

これがおそらく無限回微分可能のことだと思われる

このとき

$s=［ε］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.

$t=［δ］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.

$x=［0］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.

$ε:=1$

$δ:=1$

に対して

$|0-0|$ < $1$ 　 $⇒$ 　 $|f(0)-f(0)|=|0-0|$ < $1$ 　　( $0=a$ )

i.e.

$|x-a|$ < $δ$ 　 $⇒$ 　 $|f(x)-f(a)|$ < $ε$ 　　(量化)

が成立する．これより関数は $x=a$ で連続である．▢