日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理2.8　平均値の定理　55項

難波誠『(数学シリーズ)微分積分学』裳華房 2022年第17版 12刷

定理2.8　平均値の定理　55項

$f(x)：xの関数$

とする．このとき $f(x)=y$ が区間で連続・微分可能なら

$z=［a_3］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.　 $a_1$ < $a_3$ < $a_2$ 　s.t.　 $\displaystyle\frac{f(a_2)-f(a_1)}{a_2-a_1}=f'(a_3)$

が成立する．

(証明)

　区間で適当に $a_1$ < $a_3$ < $a_2$ となるように $a_3$ を選んで， $f(x)=y$ が区間で連続・微分可能より

$f(a_1)=b_1,　f(a_2)=b_2,　f(a_3)=b_3$ 　　( $a_1,a_2は自由変項$ )

に対して

$f'(a_1)=0,　f'(a_2)=0,　f'(a_3)=0$

である． $f'(a_1)=0$ より

$f'(a_1)=\displaystyle\lim_{x→a_1}\frac{f(x)-f(a_1)}{x-a_1}=0$ であるから

$f(x)-f(a_1)=0$ 　i.e.　 $f(x)=f(a_1)$

同様にして， $f'(a_2)=0$ より

$f(x)-f(a_2)=0$ 　i.e.　 $f(x)=f(a_2)$

を得る．ここで関数の $x=a_1からx=a_2$ までの平均変化率

$\displaystyle\frac{f(a_2)-f(a_1)}{a_2-a_1}$

を考えると

$f(a_2)-f(a_1)=f(x)-f(x)=0$

であるから

$\displaystyle\frac{f(a_2)-f(a_1)}{a_2-a_1}=0$

である．そして $f'(a_3)=0$ であるから

$\displaystyle\frac{f(a_2)-f(a_1)}{a_2-a_1}=f'(a_3)=f'(a_2)=f'(a_1)$

である．したがって

$z=［a_3］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.　 $a_1$ < $a_3$ < $a_2$ 　s.t.　 $\displaystyle\frac{f(a_2)-f(a_1)}{a_2-a_1}=f'(a_3)$

が成立する．▢