日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理2.1　微分可能性の必要十分条件　42項

難波誠『(数学シリーズ)微分積分学』裳華房 2022年第17版 12刷

・用語

「 $a$ の周りで」とは， $δ$ > $0$ が存在して，開区間 $(a-δ,a+δ)$ で，という意味である．

定理2.1　微分可能性の必要十分条件　42項

$f(x)=y：xの関数$

とする．このとき

$f(x)$ が $x=a$ で微分可能である

$⇔$

$f(x)がaの周りで$

$f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)B(x)$

と書けることをいう．但し， $A$ は自由変項， $B(x)$ は $a$ の周りで定義された関数で， $x=a$ で連続， $B(a)=0$ をみたす(このとき $A=f'(a)$ である)．

(準備)

平均変化率

　関数 $f(x)=y$ の $x=a$ から $x=b$ までの平均変化率とは

$\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 　　(2.1)

をいう．

瞬間変化率と微分可能性

　(2.1)で $b$ を $a$ に限りなく近づけたときの極限値がもし存在すれば，その極限値は $x=a$ での瞬間変化率とよばれる．この瞬間変化率は点 $a$ における $f(x)=y$ の微分係数ともよばれ， $f'(a)$ と書く．すなわち

$f'(a):=\displaystyle\lim_{x→a}\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

である．微分係数が存在するとき， $f(x)$ は $x=a$ で微分可能である，という．

(証明)

( $⇒$ )

　 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能である，と仮定し

$f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)B(x)$ 　但し $B(a)=0$

と書けることを示す．関数 $f(x)=y$ に対して

$x=［α］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.

$y=［β］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.

$α:=0$

$β:=0$

$f(0)=0$

とする．いま与えられた関数が $x=a$ で微分可能であるので

$f'(a)=\displaystyle\lim_{α→a}\displaystyle\frac{f(0)-0}{α-a}=0$

である．また

$B(x):=$

$\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 　　( $x≠a$ )

∨

$0$ 　　( $x=a$ )

と定義すれば $B(x)=z$ は $x=a$ で連続である．なぜなら

$ε:=1$

$δ:=2a$

$z=［w］_{\mathbb{R}^+}$

に対して

$|0-a|$ < $δ$ 　 $⇒$ 　 $|B(0)-B(a)|=|0-0|$ < $ε$

であるから

$B(x)=\displaystyle\frac{f(x)-f(a)+0}{x-a}$

i.e.

$B(x)(x-a)=f(x)-f(a)+0$

i.e.

$f(x)=f(a)+(x-a)B(x)+0$

i.e.

$f(x)=f(a)+(x-a)B(x)+0$

i.e.

$f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)B(x)$ 　　( $f'(a)=0$ による)

と書ける．

(⇐)

$関数f(x)が$

$f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)B(x)$

で表される，と仮定する． $x=a$ のときは $f(x)=f(a)$ より微分係数が $0$ であるから( $f'(a)=0$ )， $f(x)$ は $a$ で微分可能である．そこで $x≠a$ を考える．このとき

$f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)B(x)$

$=f(a)+(x-a)(f'(a)+B(x))$

i.e.

$\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)+B(x)=A+B(x)$

である．ここで極限操作 $x→a$ をすれば

$B(x)=0$ 　　( $x→a$ )

であり

$\displaystyle\lim_{x→a}\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)=A$

を得る．したがって， $f(x)$ は $x=a$ で微分可能で，微分係数は $A$ である．▢

課題

$x=a$ で連続

$x=a$ で微分可能

というように $x=a$ であると言いながら，なぜ $x=a$ を除いた場合の $x≠a$ を考えることができるのか，がわからない．