日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理1.22　33項

難波誠『(数学シリーズ)微分積分学』裳華房 2022年第17版 12刷

定理1.22　33項

$f(x)=y：単調増加(単調減少)連続関数$

とする．このとき $f$ の逆関数 $f^{-1}(y)=x$ は単調増加(単調減少)連続関数である．

(準備)

逆関数

　関数 $f(x)=y$ に対して， $f^{-1}(y)=x$ を $f$ の逆関数という．

関数が単調増加であること

$x=［a］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　　①

$t=［b］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　　②

関数 $f(x)$ に関して

$a$ < $b$ 　 $⇒$ 　 $f(a)$ < $f(b)$

をみたすとき， $f(x)$ を単調増加関数とよぶ．また

$a$ > $b$ 　 $⇒$ 　 $f(a)$ > $f(b)$

をみたすとき， $f(x)$ を単調減少関数という．ここでは，単調増加のみを示す．

連続関数

$x：束縛変項$

$α,β：自由変項$

とする．このとき $x=α$ で $f(x)$ が連続とは

$s=［ε］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　　①

$t=［δ］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　　①

$x=［a］_{\mathbb{R}_{≥0}}$ 　s.t.　　②

に対して

$|x-α|$ < $δ$ 　 $⇒$ 　 $|f(x)-f(a)|$ < $ε$

が成立することをいう．

(証明)

　 $f$ が単調増加連続関数である，と仮定する．このとき $f$ の逆関数 $f^{-1}$ を考え

(1)　 $f^{-1}$ は単調増加

(2)　 $f^{-1}$ は連続関数

であることを示す．

(1)について

　 $f$ の単調性より

$a$ < $b$ 　 $⇒$ 　 $f(a)$ < $f(b)$

と書ける．いま， $f$ の逆関数 $f^{-1}(y)=x$ に対して

$x=［a］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　　①

$y=［c］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　　②

$t=［b］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　　③

$c$ < $b$ を仮定すると

$f^{-1}(c)=a,f^{-1}(b)=b,a$ < $b$ より

$f^{-1}(c)$ < $f^{-1}(b)$

が成立する．したがって

$c$ < $b$ 　 $⇒$ 　 $f^{-1}(c)$ < $f^{-1}(b)$

を得る．

(2)について

　連続関数 $f(x)=y$ について

$ε:=1$

$δ:=2α$

$x:=0$

$y:=0$

と置く．このとき

$|0-α|$ < $2α$ 　 $⇒$ 　 $|f(0)-f(α)|=|0-0|$ < $1$

である．ここで， $f$ の逆関数 $f^{-1}(y)=x$ に対して

$ε:=1$

$δ:=2β$

と置くと

$|0-β|$ < $2β$ 　 $⇒$ 　 $|f(0)-f(β)|=|0-0|$ < $1$

が成立する．

　それゆえ，単調増加連続関数の逆関数は単調増加連続であることがわかる．▢