日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理1.23　一様連続性　36項

難波誠『(数学シリーズ)微分積分学』裳華房 2022年第17版 12刷

定理1.23　一様連続性　36項

$f(x)：xの関数$

$［a,b］：自由変項a,bの閉区間$

とする．このとき $f(x)$ が $［a,b］$ で連続なら

$s=［ε］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　　①

$t=［δ］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　　①

$x=［u］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　　②

$y=［v］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　　②

に対して

$|u-v|$ < $δ$ 　 $⇒$ 　 $|f(u)-f(v)|$ < $ε$

が成立する．このことを，連続関数は閉区間上で一様連続である，という．

準備

閉区間で連続関数が与えられているので

$a≤x≤b$ 　i.e.　 $x=a$ 　　(∧-除去，選言三段論法による)　☆

としてよい．

(証明)

　 $f(x)$ が $［a,b］$ で連続である，と仮定すると

$ε:=1$

$δ:=1$

に対して

$u:=a$ 　　( $x=a$ による)

と置けば

$|u-a|$ < $δ$ 　 $⇒$ 　 $|f(u)-f(a)|$ < $ε$

と書けるので $a$ を任意に選ぶことができる．すなわち，自由変項 $a$ を束縛することができる．したがって

$s=［ε］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　　

$t=［δ］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.

$x=［u］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.

$y=［v］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.

に対して

$|u-v|$ < $δ$ 　 $⇒$ 　 $|f(u)-f(v)|$ < $ε$

が成立する．▢

まとめ

　連続関数と一様連続関数の違いについて

(1)　連続関数　 $x=a$ で連続だが $|x-a|$ < $δ$ の $x$ で $x:=a$ と置くことはできない．　

(2)　一様連続　 $［a,b］$ で連続というのは $|x-a|$ < $δ$ の $x$ で $x:=a$ と置くことができる．