日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理1.20　32項

難波誠『(数学シリーズ)微分積分学』裳華房 2022年第17版 12刷

定理1.20　32項

$［a,b］$ ：自由変項 $a,b$ の閉区間

$f(x)：x=αで連続関数(束縛変項x,自由変項αは正の実数)$

とする．このとき， $［a,b］$ 上の $f(x)$ の値域は $［m,M］$ である．但し

$m：f(x)の最小値$

$M：f(x)の最大値$

を表す．

(証明)

　 $x∈［a,b］$ に対して $a≤x≤b$ である．このとき

$a≤x$ 　∧　 $x≤b$

i.e.　 $a≤x$ 　　(∧-除去)

i.e.　 $a$ < $x$ 　∨　 $x=a$

$￢(a$ < $x)$ 　　(仮定)

$x=a$ 　　(選言三段論法)

同様にして

$x=b$

したがって

$x=a=b$

を得る．同様にして $y∈［m,M］$ についても

$y=m=M$

である．これより

$k=［n］_{\mathbb{Z}^+}$ 　s.t.

$x=［a_1,...,a_n］$ 　s.t.　　

$y=［m_1,...,m_n］$ 　s.t.　

( $m_1からm_n$ の何れかが関数の最小値・最大値)

$f(x)=y$

を構成することができる．▢