日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理1. 21　32項

難波誠『(数学シリーズ)微分積分学』裳華房 2022年第17版 12刷

定理1. 21　32項

連続関数の合成関数は連続関数である

(準備)

$x：束縛変項(正の実数)$

$a：自由変項(正の実数)$

とする．このとき，関数が $x=a$ で連続とは

$f(x)→f(a)$ 　　( $x→a$ )

i.e.

$s=［ε］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　　①

$t=［δ］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　　①

$x=［u］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　　②

に対して

$|u-a|$ < $δ$ 　 $⇒$ 　 $|f(u)-f(a)|$ < $ε$

と成ることである．

・合成関数とは

2個の関数 $f(x)=y,g(x)=z$

$g\circ f(x):=g(f(x))$

に対して

$g\circ f(x)=z$

に成ることをいう．

(証明)

$k=［n］_{\mathbb{Z}^+}$ 　s.t.　　①

$x=［a_1,...,a_n］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　　②

$y=［b_1,...,b_n］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　　③

$z=［c_1,...,c_n］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　　 ④

$f(x)=y,g(x)=z$

に対して

$f$ は $x=a$ で連続

$g$ は $f(a)=b$ で連続

であり

$n:=1$

と置き $fとg$ との合成 $g\circ f$ を考えると

$g\circ f(x)$

$=g(f(x))$

$=g(f(a_1))$ 　　( $n:=1$ )

$=g(b_1)$ 　　( $f(a_1)=b_1$ )

$=c_1$

$=z$

である．したがって $g\circ f(x)=z$ を得る．すなわち，連続関数 $f,g$ との合成関数 $g\circ f$ は $x=a$ で連続であることが示された．▢