日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

命題1.2　9項

福田拓生『集合への入門(無限をかいま見る)』培風館 2018

命題1.2　9項

$A：1つの集合$

$\varnothing：1つの空集合$

とする．このとき次が成立する．

(1)　 $A⊂A$

(2)　 $\varnothing⊂A$

(3)　 $A≠\varnothing$

(証明)

(1)について

$x=［a］_A$ 　s.t.　 $a∈A　⇒　a∈A$

を示す． $a∈A$ を仮定すると→-導入より

$a∈A　⇒　a∈A$

であるから，これを量化すれば

$x∈A　⇒　x∈A$

を得る．

(2)について

$x=［　］_{\varnothing}$ 　s.t.　 $x∈\varnothing　⇒　x∈A$

を示す． $x∈\varnothing$ を仮定する．いま排中律より

$x∈A∨￢(x∈A)$

である．ここで， $￢￢(x∈A)$ を仮定し，これに選言三段論法を適用すれば

$x∈A$

を得る．すなわち

(ⅰ)　 $x∈A∨￢(x∈A)$ 　　排中律

(ⅱ)　 $￢￢(x∈A)$ 　　仮定

(ⅲ)　 $x∈A$ 　　ⅰ-ⅱ. 選言三段論法

である．したがって，→-導入より

$x∈\varnothing　⇒　x∈A$

と成る．

(3)について

$x=［a］_A$ 　s.t.　 $a∈A　⇒　〔a∈A　⇒　￢(a∈\varnothing)〕$

を示す． $A≠\varnothing$ より $a∈A$ を仮定する．空集合の性質より

$￢(a∈\varnothing)$

であるから，→-導入より

$a∈A　⇒　￢(a∈\varnothing)$

を構成することができる．再び→-導入を適用すると

$A≠\varnothing　⇒　A\not\subset \varnothing$

を得る．▢